inequações

Estou com uma dúvida básica de inequações quando acontece a seguinte situação:

-\/x > -2x 

se eu multiplico toda a inequação por (-1) e em seguida elevo ambos os membros ao quadrado:
-\/x > -2x --> \/x < 2x --> x < 4x²

Já se eu elevo ambos os membros ao quadrado direto (afinal, segundo meu raciocínio, não importa se o numero é negativo ou positivo, seu quadrado será sempre positivo):
-\/x > -2x --> x > 4x²

Gostaria de saber se elevar ao quadrado direto é proibido e porque. Estou tendo dificuldades em inequações, principalmente nesta situação. Quem puder me ajudar, fico grata.

Use símbolos da tabela ao lado SÍMBOLOS ÚTEIS: √

Quando você eleva ao quadrado você introduz raízes que podem não ser válidas: seria necessário testar as raízes

Um modo mais fácil: 

Fazendo y = √x ---> y² = x ---> x é radicando: x ≥ 0

- √x > - 2.x --> - y > - 2.y² --> 2.y² - y > 0 --> y.(2.y - 1) > 0 --> 

A função é uma parábola com raízes y' = 0 e y" = 1/2  

Para y' = 0 --> √x = 0 ---> x' = 0
Para y" = 1/2 ---> x" = 1/4

A função é positiva exteriormente às raízes ---> x < 0 (não serve) e x > 1/4