Equações

59 - (Fgv 2002) A soma das raízes da equação ((x^2)- 2x\/2 + \/3)((x^2)-x\/2-\/3)=0 vale? Gabarito: 3\/2

Eu tentei duas resoluções (as duas pelo caminho do produto nulo), cheguei no resultado esperado apenas na segunda. Contudo gostaria de saber porque a primeira forma está errada, ou o que estou errando nela. Agradeço desde já.

1ª forma:

I: x²- 2x\/2 + \/3 = 0
II: x² -x\/2 - \/3 = 0

resolvi como se fosse um sistema linear, multipliquei a segunda equação por -1 e somei ambas:
-x\/2 + 2\/3 = 0
2\/3=x\/2 ()²
12 = 2x²
x²=6
x= (+-)\/6

soma das raízes: \/6 - \/6 = 0 

2ª Forma:

I: x²- 2x\/2 + \/3 = 0
II: x² -x\/2 - \/3 = 0

I: x'+x''= 2\/2
II: x'''+x''''= \/2

somando todas as raizes: x'+x''+x'''+x''''= 2\/2+\/2 = 3\/2

Um modo mais fácil, usando Relação de Girard:

y = a.x² + b.x + c ---> raízes x' e x"

x' + x" = - b/a

Na primeira x² - 2.√2.x + √3 = 0 ---> a = 1, b = - 2.√2

x' + x" = - (-2.√2)/1 ---> x' + x" = 2.√2 ---> I

Na segunda x² - √2.x - √3 = 0 ---> a = 1, b = - √2

x'" + x"" = - √2/1 ---> x'" + x"" = √2 ---> II

Soma das 4 raízes: S = 2.√2 + √2 ---> S = 3.√2

Olá, MakiseKurisu,

A 1ª forma por vc apresentada força os dois fatores serem nulos ao mesmo tempo.

Cuidado! Perceba que isso é impossível, uma vez as soluções por vc encontradas não satisfazem as equações do sistema.

E além disso, não precisamos (nem devemos) ter os dois fatores nulos ao mesmo tempo. Individualmente faça as soluções para se anularem, depois faça a união das soluções.

Dessa maneira estaremos indiretamente fazendo a sua 2ª forma. Dará no mesmo.

Abs