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Desafio Matemática(7.2.1): Geometria Analitica

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Mensagem por Lucius Draco Seg 20 Jul 2020, 11:02

Voltando aos desafios!
Resolução às 22:00h


(IME - 1997) Dados os pontos A e B do plano, determine a equação do lugar geométrico dos pontos P do plano de tal modo que a razão entre as distâncias de PA e PB seja dada por uma constante k. Justifique a resposta analiticamente, discutindo todas as possibilidades para k.
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Mensagem por Elcioschin Seg 20 Jul 2020, 13:32

A(xA, yA) ---> B(xB, yB) ---> P(x, y)

PA/PB = k ---> PA²/PB² = k²

PA² = (x - xA)² + (y - yA)²
PB² = (x - xB)² + (y - yB)²

(x - xA)² + (y - yA)²
------------------------ = k²
(x - xB)² + (y - yB)²

Basta desenvolver e analisar para diferentes valores de k
Com certeza k = 1 vai ser um valor importante: o LG é a mediatriz do segmento AB.
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Mensagem por Medeiros Seg 20 Jul 2020, 14:11

é o círculo de Apolônio.

k=1, P fica sobre a mediatriz de AB, conforme disse o Élcio.
k>1, P fica sobre uma circunferência, A é externo e B é interno.
k<1, ...................... " ............................ , A é interno e B é externo.
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Mensagem por Lucius Draco Seg 20 Jul 2020, 20:48

@Medeiros escreveu:é o círculo de Apolônio.

k=1, P fica sobre a mediatriz de AB, conforme disse o Élcio.
k>1, P fica sobre uma circunferência, A é externo e B é interno.
k<1, ...................... " ............................ , A é interno e B é externo.
Exato. 

Se pegarmos a equação do Elcioschin e desenvolve-la.

(x - xA)² + (y - yA)²
------------------------ = k²
(x - xB)² + (y - yB)²

Teremos a equação de um circulo, na qual é conhecido como circulo de Apolônio.
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