Desafio Matemática(7.2.2): Geometria Analítica

Resolução às 22:00h

(OCM - Adapatada) Tendo a elipse x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1, calcule a maior área triangular pertencente a elipse.

Tempo encerado!
Amanhã tem mais.

Temos:

[latex]\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1[/latex]

Pegando os 3 pontos do triângulo temos:

[latex]\begin{matrix} A\left ( a\cdot \cos \alpha ,b\cdot \sin \alpha, 0 \right )\\ B\left ( a\cdot \cos \beta ,b\cdot \sin \beta, 0 \right )\\ C\left ( a\cdot \cos \gamma ,b\cdot \sin \gamma, 0 \right ) \end{matrix};\: \forall \alpha \neq \beta \neq \gamma \:e\: \alpha ,\beta ,\gamma\: \epsilon [0,2\pi ] [/latex]

Com isso temos:

[latex]S=\frac{| \overset{\rightarrow}{AB} \times \overset{\rightarrow}{BC}|}{2} = \frac{\begin{Vmatrix} i & j & k\\ a\cdot (\cos \beta -\cos \alpha ) & b\cdot (\sin \beta -\sin \alpha ) & 0 \\ a\cdot (\cos \gamma -\cos \beta ) & b\cdot (\sin \gamma -\sin \beta ) & 0 \end{Vmatrix}}{2}[/latex]

[latex]S=\frac{a\cdot b}{2}\cdot \left | (\cos \beta -\cos \alpha )\cdot (\sin \gamma -\sin \beta ) - (\cos \gamma -\cos \beta )\cdot (\sin \beta -\sin \alpha ) \right |[/latex]

[latex]S=\frac{a\cdot b}{2}\cdot \left |\sin \left ( \gamma - \beta \right ) + \sin \left ( \alpha - \gamma \right ) + \sin \left ( \beta - \alpha \right ) \right |[/latex]

Para relação ser máxima (utilizando derivadas parciais), temos a relação:

[latex]\cos \left ( \gamma - \beta \right ) = \cos \left ( \alpha - \gamma \right ) = \cos \left ( \beta - \alpha \right )[/latex]

Logo, admitindo que γ > β > α, temos:

[latex]\left\{\begin{matrix} \beta = \alpha + \frac{2\pi }{3}\\ \\ \gamma = \alpha + \frac{4\pi }{3} \end{matrix}\right.[/latex]

Portanto,

[latex]S=\frac{a\cdot b}{2}\cdot \left | \sin \left ( \frac{2\pi }{3} \right ) + \sin \left ( \frac{2\pi }{3} \right ) + \sin \left ( \frac{-4\pi }{3} \right ) \right |[/latex]

[latex]S=\frac{a\cdot b}{2}\cdot 3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\cdot a\cdot b\cdot \sqrt{3}}{4}[/latex]

OBS.: Como a questão é da OCM, eu acho que aquela soma de senos deve ter uma desigualdade conhecida (na qual eu desconheço). Portanto, se alguém souber como resolver o caso máximo sem usar derivada será de grande valia.