Desafio Matemática(9.1.5): Geometria Plana

O último de geometria plana(já que hoje é sexta).
Gabarito será postado às 22:00h

(FGV) Na figura, AC e BD são diagonais do quadrado ABCD de lado x , M e N são os pontos médios de AB e BC , respectivamente.



(a) Calcule a área da região sombreada na figura, em função de x.
(b) Calcule o perímetro do quadrilátero PQRS, em função de x.

Vou substituir x por a para não confundir com eixo x:

Seja um sistema xOy com origem em C(0, 0):

B(a, 0), A(a, a), D(0, a), M(a, a/2) , N(a/2, 0), P(a/2, a/2)

Equação das retas:

AC: y = x ---> BD: y = - x + a

CM: y = x/2 ---> DN: y = - 2.x + a

Encontre as coordenadas dos pontos Q, R, S

Divida o quadrilátero PQRS em dois triângulos.
Calcule a área de cada triângulo em função de a, usando determinante: S = ∆/2
Depois substitua a por x

b) Calcule PQ, Qr, RS, ST e determine o perímetro

A área é mais simples, calculo depois, se houver tempo hábil. Agora eu calculei o perímetro p.

se não errei conta.

os dois triângulos ACM e BDN têm bases e alturas iguais, portanto têm mesma área. Então vamos calcular a área dos triângulos menos a do quadrilátero PQRS (de deve ser subtraída duas vezes).

área do quadrilátero PQRS -- S_Q

neste quadrilátero os ângulos em P e R são retos. Então calcularemos a soma das áreas dos triângulos PQS e RQS.

S_Q = PQ•PS/2 + RQ•RS/2 = (1/2).(PQ•PS + RQ•RS)
já colocando o lado x em evidência

S_Q = (x²/2).[(√2/6)² + (2√5/15).(√5/15)] = (x²/2).(1/18 + 2/45)  ----->  S_Q  =  x²/20

cálculo da área hachurada -- S

S = 2×S_triâng - 2×S_Q

S = 2•{[(x.x/2)/2] - x²/20}  =  x².(1/2 - 1/10)  ----->  S  =  (2/5).x²  =  0,40 x²


ADENDO: esqueci de citar na mensagem anterior  --->  p ~= 0,92 x

Perdão, galera!
Acabei esquecendo de postar a resolução. (Fazer simulado do IME me cansa muito)
Já que o Medeiros postou a resolução por plana, farei por vetores/analítica.

OBS: Trocarei x por a.





Definindo os ponto no plano XY. temos:

C(0,0)
D(0,a)
A(a,a)
B(a,0)

M(a,a/2)
N(a/2,0)

as retas são:

AC: y - x = 0
BD: y + x - a = 0
DN: y + 2x - a = 0
CM: 2y - x = 0

Com isso temos:


AC: y - x = 0           -->    P(a/2,a/2)
BD: y + x - a = 0

AC: y - x = 0           -->    S(a/3,a/3)
DN: y + 2x - a = 0

CM: 2y - x = 0         -->    Q(2a/3,a/3)
BD: y + x - a = 0

CM: 2y - x = 0         -->    R(2a/5,a/5)
DN: y + 2x - a = 0

Com isso temos:

C(0,0)
D(0,a)
A(a,a)
B(a,0)

P(a/2,a/2)
S(a/3,a/3)
Q(2a/3,a/3)
R(2a/5,a/5)

M(a,a/2)
N(a/2,0)

(a) Calcule a área da região sombreada na figura, em função de x.

Calculando as Áreas.

[latex]\left [ CRS \right ] =\frac{ \begin{Vmatrix} 0\, \frac{2a}{5}\, \frac{a}{3}\, 0\\ 0\, \, \frac{a}{5}\, \frac{a}{3}\, 0 \end{Vmatrix}}{2} = \frac{\left | \frac{2a^2}{15}-\frac{a^2}{15} \right |}{2} = \frac{a^2}{30}[/latex]


[latex]\left [ NRQB \right ] =\frac{ \begin{Vmatrix} \frac{a}{2}\, \frac{2a}{5}\, \frac{2a}{3}\, a\,\frac{a}{2} \\ 0\, \, \frac{a}{5}\,\, \frac{a}{3}\, \, 0\, \, 0 \end{Vmatrix}}{2} = \frac{\left | \frac{a^2}{10}+\frac{2a^2}{15}-\frac{2a^2}{15}-\frac{a^2}{3} \right |}{2} = \frac{7a^2}{60}[/latex]

[latex]\left [ DPS \right ]=\frac{\begin{Vmatrix} 0\, \frac{a}{2}\, \frac{a}{3}\, 0\\ a\, \frac{a}{2}\, \frac{a}{3}\, a \end{Vmatrix}}{2} = \frac{\left | \frac{a^2}{6}+\frac{a^2}{3}-\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{6} \right |}{2}=\frac{a^2}{12}[/latex]

[latex]\left [ APQM \right ] = \frac{\begin{Vmatrix} a\, \frac{a}{2}\, \frac{2a}{3}\, a\, a\\ a\, \frac{a}{2}\, \frac{a}{3}\: \frac{a}{2}\, a \end{Vmatrix}}{2} = \frac{\left | \frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{6}+\frac{2a^2}{6}+a^2 - \frac{a^2}{2}-\frac{2a^2}{6}-\frac{a^2}{3}-\frac{a^2}{2} \right |}{2}=\frac{a^2}{6}[/latex]

Portanto,

[latex]S = \left [ CRS \right ] + \left [ NRQB \right ] + \left [ DPS \right ] + \left [ APQM \right ] = \frac{a^2}{30} + \frac{7a^2}{60} + \frac{a^2}{12} + \frac{a^2}{6} = \frac{24a^2}{60} = \frac{2a^2}{5}[/latex]


[latex]S = \frac{2a^2}{5}[/latex]



(b) Calcule o perímetro do quadrilátero PQRS, em função de x.


Para as arestas,

[latex]PQ = \sqrt{\left ( \frac{a}{2} - \frac{2a}{3} \right )^2 + \left ( \frac{a}{2} - \frac{a}{3} \right )^2}[/latex]


[latex]PQ = \frac{a\sqrt{2}}{6}[/latex]







[latex]QR = \sqrt{\left ( \frac{2a}{3} - \frac{2a}{5} \right )^2 + \left ( \frac{a}{3} - \frac{a}{5} \right )^2}[/latex]



[latex]QR = \frac{2a\sqrt{5}}{15}[/latex]







[latex]RS = \sqrt{\left ( \frac{2a}{5} - \frac{a}{3} \right )^2 + \left ( \frac{a}{5} - \frac{a}{3} \right )^2}[/latex]



[latex]RS = \frac{a\sqrt{5}}{15}[/latex]







[latex]SP = \sqrt{\left ( \frac{a}{3} - \frac{a}{2} \right )^2 + \left ( \frac{a}{3} - \frac{a}{2} \right )^2}[/latex]



[latex]SP =\frac{a\sqrt{2}}{6}[/latex]



Logo,

[latex]2p = a\cdot \left ( \frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{\sqrt{5}}{5} \right )[/latex]