Desafio Matemática(9.1.Extra 1): Geometria Plana

Bom. Devido eu postar um desafio que considero relativamente fácil("sem desmerecer a questão"), colocarei um extra para vocês se divertirem.
(Resposta será postada às 22:00h)


(CJMO-2020) Um círculo está inscrito em um losango ABCD. Os pontos P e Q variam sobre o segmento AB e AD, respectivamente, além disso PQ é tangente ao círculo. Mostre que para qualquer segmento PQ, a área do triângulo ∆CPQ é constante.



Obs.: Espero que a tradução esteja correta. kkkkk 

Acabou o tempo. (Amanhã tem mais!)


Parte 1.

Definindo os pontos V, T, U como pontos de tangência.



Como isso podemos dizer que:

p = PU = PT

q = QT = QV

a = AU = AV

b = BU = DV

Obs.: note que a + b = l, sendo l o lado do losango.

Sendo  = θ, temos:

[latex]\left\{\begin{matrix} [APQ] = \frac{AP\cdot AQ\cdot \sin \theta }{2} = \frac{(a - p)\cdot (a - q)\cdot \sin \theta}{2}\\ \\ [BCP] = \frac{BP\cdot BC\cdot \sin \left (\pi - \theta \right ) }{2} = \frac{(b + p)\cdot (a + b)\cdot \sin \theta}{2}\\ \\ [CDQ] = \frac{DQ\cdot CD\cdot \sin \left (\pi - \theta \right ) }{2} = \frac{(b + q)\cdot (a + b)\cdot \sin \theta}{2}\\ \\ [ABCD] = (a+b)^2\cdot \sin \theta \end{matrix}\right.[/latex]

Portanto,

[latex]\left [CPQ \right ] = [ABCD] - [APQ] - [BCP] - \left [CDQ \right ][/latex]

[latex]\left [CPQ \right ] = \frac{1}{2}\cdot \left ( a^2 + 2ab - (bp + bq + pq) \right )\cdot \sin \theta[/latex]

Parte 2.



Definindo:

[latex]\angle TOP = x \; e\; \angle TOQ = y[/latex]

Temos:

[latex]\tan x = \frac{p}{r}\: e\: \tan y = \frac{q}{r}[/latex]

Além disso,

[latex]\left\{\begin{matrix} \angle TOP = \angle UOP = x \\ \angle TOQ = \angle VOQ = y \end{matrix}\right.\Rightarrow \angle UOV = 2x + 2y[/latex]

Com isso,



[latex]\angle UOV = 2x + 2y \Rightarrow \angle AOU = x + y[/latex]

[latex]\left\{\begin{matrix} \angle AOU = x + y\\ \angle AOB = 90 \degree \end{matrix}\right.\Rightarrow \tan \left ( x + y \right ) = \frac{a}{r} = \frac{r}{b}[/latex]

[latex]r^2 = ab[/latex]

Ademais,

[latex]\frac{r}{b} = \tan \left ( x + y \right ) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \cdot \tan y}=\frac{r(p + q)}{r^2 - pq}[/latex]

[latex]bp + bq + pq = r^2 = ab[/latex]

Parte 3.

Portanto:

[latex]\left [CPQ \right ] = \frac{1}{2}\cdot \left ( a^2 + 2ab - ab \right )\cdot \sin \theta[/latex]

[latex]\left [CPQ \right ] = \frac{1}{2}\cdot \left ( a^2 + ab\right )\cdot \sin \theta[/latex]

[latex]\left [CPQ \right ] = \frac{1}{2}\cdot a\cdot l\cdot \sin \theta[/latex]

Para simplificar:




[latex]\left\{\begin{matrix} AO = l\cdot \cos \frac{\theta }{2}\\ AU = AO\cdot \cos \frac{\theta }{2} \end{matrix}\right.\Rightarrow AU = a = l\cdot \cos^2 \frac{\theta }{2}[/latex]

Por fim:

[latex]\left [CPQ \right ] = \frac{1}{2}\cdot l^2\cdot \cos^2 \frac{\theta }{2} \cdot \sin \theta[/latex]

[latex]\left [CPQ \right ] = \frac{l^2 \cdot \left ( \cos \theta + 1 \right )\cdot \sin \theta}{4}[/latex]

Logo, a área [CPQ] só depende das propriedades do losango, portanto ela é constante.