Desafio 1: Matemática-Geometria Analítica

Como dito no tópico: https://pir2.forumeiros.com/t170681-duvida-sobre-onde-devo-colocar-minhas-questoes#596805, estarei colocando questões, como desafio, aqui. (se ninguém conseguir resolver a questão, colocarei a resolução às 23:00h)

(Escola Naval - 2019)Um círculo, contido no plano x - 2y + 4 = 0, de centro (4,4,4) e raio √5, é projetado ortogonalmente no plano y = 0, formando uma figura plana de área, em unidades de área, igual a:

(a)2π√5
(b)4π
(c)5π
(d)5π√2
(e)10π

Gabarito:

como a eq do plano não tem a variável z, significa que este plano é paralelo ao eixo das cotas -- ou seja, a projeção de qualquer segmento do plano sobre o eixo z ocorre em verdadeira grandeza. Posso, portanto, estudar o plano em relação apenas a xOy.



me desculpem pelo desenho da elipse parecer com uma circunferência deformada -- a deformação está na minha capacidade para desenhar.

Medeiros escreveu:como a eq do plano não tem a variável z, significa que este plano é paralelo ao eixo das cotas -- ou seja, a projeção de qualquer segmento do plano sobre o eixo z ocorre em verdadeira grandeza. Posso, portanto, estudar o plano em relação apenas a xOy.



me desculpem pelo desenho da elipse parecer com uma circunferência deformada -- a deformação está na minha capacidade para desenhar.

Genial!
Estava esperando está solução, por mais que eu não goste muito dela, pois é necessário ter uma certa visão espacial para perceber como vai ocorrer a distorção.

Já que o Medeiros solucionou a questão colocarei aqui outra resolução.

Definição:

Z   →  Vetor Z.
Z_p  →  Vetor Z projetado no plano.

Sendo Z o vetor do circulo, temos:

i)

Z = (x,y,z)                                  x' = x
Z_p = (x',y',z')                      ⇒     y' = 0
Projeção no plano y=0.                z' = z

Com isso precisamos achar a relação de x' e z' (visto que y' é definido)

ii) Pelo problema temos:

x - 2y + 4 = 0             ⇒   x - 2y + 4 = 0
|Z - (4,4,4)| ≤ √5            (x - 4)² + (y - 4)² + (z - 4)² ≤ 5

Substituindo y:

(x - 4)² + ((x + 4)/2 - 4)² + (z - 4)² ≤ 5

(x - 4)² + (x - 4)²/4 + (z - 4)² ≤ 5

(5/4)*(x - 4)² + (z - 4)² ≤ 5

(x - 4)²/4 + (z - 4)²/5 ≤ 1

Substituindo por x' e y', temos:

(x' - 4)²/4 + (z' - 4)²/5 ≤ 1;   (eq. da projeção no plano y=0)

Com isso, 

S = π*√(4)*√(5)
S = 2π*√(5)

Letra A)

Elipse!!!

Nem pensar: é uma distorção de uma circunferência.
Ocorreu devido ao sono do colega Medeiros ou talvez  devido a "alguns goles" a mais na madrugada. kkk

"goles a mais"?!! eu não bebo, companheiro; muito raramente um brinde.

Mas gostei da solução do Lucius, inteiramente por geom. analítica, e já forneceu a eq. da elipse. Continuo aprendendo.