Desafio 3: Matemática-Binário

por Lucius Draco Ter 07 Jul 2020, 10:34

Bom iria postar o desafio apenas as 12:00h (como fora combinado), entretanto devido ao aniversário do site irei postar dois desafios hoje. (Este será em homenagem ao Euclides, a quem não conheci, mas considero "pacas")

Como combinado terá o desafio das 12:00h, este é apenas um "plus".

As duas respostas serão colocadas as 22:00h.

(IME-Adaptada)

Definimos a função f: ℕ → ℕ da seguinte forma:

Determine a função.
Se necessário explique a função resolvendo f(f(2019)).

Obs₁.: ⌊ x ⌋ é o maior inteiro menor ou igual a x.
Obs₂.: Sim, o titulo é uma dica de como resolver.

Edit.: Fiz um pequeno "edit" para facilitar a questão.

por Lucius Draco Ter 07 Jul 2020, 21:56

5min. para eu postar a resolução. kkkkkkkk
Acho que botei um demasiadamente dificil.

por Lucius Draco Ter 07 Jul 2020, 22:03

Acabou o tempo!

Infelizmente ninguém foi capaz de responder a questão.

Temos:

[latex]\left\{\begin{matrix} f(0) = 0\\ f(1)=1\\ f(2n)=f(n), \; n\geq 1\\ f(2n + 1) = f(n) + 2^{\left \lfloor \log _{2}{n} \right \rfloor}, \; n\geq 1\\ \end{matrix}\right.[/latex]

Sendo x > 1, x ∈ ℕ. Temos que x pode ser escrito na base 2.

[latex]x = (1a_{1}a_{2}a_{3}...a_{k})_{2}; \forall\: a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{k}\epsilon \left \{ 0,1 \right \}[/latex]

i) x sendo um número par.

se x for um número par, temos que seu último termo na base 2 será 0.

[latex]x = (1a_{1}a_{2}a_{3}...a_{k-1}0)_{2}[/latex]

pela base temos:

[latex]x = (1a_{1}a_{2}a_{3}...a_{k-1}0)_{2} = 2 \cdot (1a_{1}a_{2}a_{3}...a_{k-1})_{2}[/latex]

logo, aplicando x na função temos:

[latex]f\left [(1a_{1}a_{2}a_{3}...a_{k-1}0)_{2} \right ] = f\left [2 \cdot (1a_{1}a_{2}a_{3}...a_{k-1})_{2} \right ]=(1a_{1}a_{2}a_{3}...a_{k-1})_{2}[/latex]

ii) x sendo um número ímpar.

se x for um número ímpar, temos que seu último termo na base 2 será 1.

[latex]x = (1a_{1}a_{2}a_{3}...a_{k-1}1)_{2}[/latex]

pela base temos:

[latex]x = (1a_{1}a_{2}a_{3}...a_{k-1}1)_{2} = 2 \cdot (1a_{1}a_{2}a_{3}...a_{k-1})_{2} +(0000...01)_{2}[/latex]

logo, aplicando x na função temos:

[latex]f\left [(1a_{1}a_{2}a_{3}...a_{k-1}1)_{2} \right ] =f\left [(1a_{1}a_{2}a_{3}...a_{k-1})_{2} \right ] +2^{\left \lfloor \log _{2}{ (1a_{1}a_{2}a_{3}...a_{k-1})_{2}} \right \rfloor}[/latex]

entretanto temos:

[latex]2^{k-1}\leq (1a_{1}a_{2}a_{3}...a_{k-1})_{2}< 2^{k}[/latex]

Portanto,

[latex]f\left [(1a_{1}a_{2}a_{3}...a_{k-1}1)_{2} \right ] = f\left [(1a_{1}a_{2}a_{3}...a_{k-1})_{2} \right ] +2^{k-1}[/latex]

iii) Portanto, utilizando as ferramentas observadas acima podermos definir que:

[latex]\left\{\begin{matrix} f\left [(1a_{1}a_{2}a_{3}...a_{k-1}a_{k})_{2} \right ] = f\left [(1a_{1}a_{2}a_{3}...a_{k-1})_{2} \right ]; \forall a_{k}=0\\ f\left [(1a_{1}a_{2}a_{3}...a_{k-1}a_{k})_{2} \right ] = f\left [(1a_{1}a_{2}a_{3}...a_{k-1})_{2} \right ] + 2^{k-1}; \forall a_{k}=1\\ \end{matrix}\right.[/latex]

Com isso,

[latex] f\left [(1a_{1}a_{2}a_{3}...a_{k-1}a_{k})_{2} \right ] = f\left [(1a_{1}a_{2}a_{3}...a_{k-1})_{2} \right ] + a_{k}\cdot 2^{k-1}; \forall a_{k}=0\: ou\: 1[/latex]

Fazendo até a exaustão:

[latex]f\left [ (1a_{1}a_{2}a_{3}...a_{k})_{2} \right ] = a_{k}\cdot 2^{k-1} + a_{k-1}\cdot 2^{k-2} + a_{2}\cdot 2^1 + a_{1}\cdot 2^0 + f(1_{2})[/latex]

[latex]f\left [ (1a_{1}a_{2}a_{3}...a_{k})_{2} \right ] = (a_{k}a_{k-1}a_{k-2}...a_{2}a_{1})_{2} + f(1)[/latex]

[latex]f\left [ (1a_{1}a_{2}a_{3}...a_{k})_{2} \right ] = (a_{k}a_{k-1}a_{k-2}...a_{2}a_{1})_{2} + 1[/latex]

Agora se alguém quiser resolva f(f(2019)). Pergunta feita pelo IME.

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