Desafio 6: Matemática-Somatório

por Lucius Draco Qui 09 Jul 2020, 12:03

Desafio 6 (Semana de somatório)

(Não lembro de onde vem / Uma apostila qualquer) Calcule:

[latex]S = \frac{\tan {1}}{\cos {2}}+\frac{\tan {2}}{\cos {4}}+\frac{\tan {4}}{\cos {8}}+...+\frac{\tan {2^n}}{\cos{2^{n+1}}}[/latex]

por **Vitor Ahcor** Qui 09 Jul 2020, 21:14

Olá, se não errei nenhuma conta acho que é isso:

*obs: desconsidere a letra ruim kkk

por Lucius Draco Qui 09 Jul 2020, 22:16

Malz pela demora. Tive que sair hoje de noite.
Vou postar a minha solução, depois verificar a sua. (talvez tenha dado a mesma coisa, mas de forma diferente)

[latex]S=\sum_{k=0}^{n}\frac{\tan{2^{k}}}{\cos 2^{k+1}}[/latex]

Como 2^{k} = 2^{k+1} - 2^{k}, temos:

[latex]S=\sum_{k=0}^{n}\frac{\sin{2^{k}}}{\cos{2^{k}}\cdot \cos 2^{k+1}}[/latex]

[latex]S=\sum_{k=0}^{n}\frac{\sin{\left (2^{k + 1} - 2^{k} \right )}}{\cos{2^{k}}\cdot \cos 2^{k+1}}[/latex]

[latex]S=\sum_{k=0}^{n}\frac{\sin{2^{k + 1}}\cdot \cos{2^{k}}-\sin{2^{k}}\cdot \cos{2^{k + 1}}}{\cos{2^{k}}\cdot \cos 2^{k+1}}[/latex]

[latex]S=\sum_{k=0}^{n}\left (\tan{2^{k+1}}-\tan{2^{k}} \right )[/latex]

[latex]S=\tan{2^{n+1}}-\tan{1}[/latex]

por Lucius Draco Qui 09 Jul 2020, 22:38

Vitor Ahcor escreveu:Olá, se não errei nenhuma conta acho que é isso:

*obs: desconsidere a letra ruim kkk

Está correto, mas está feio kkkkk
Vou terminar para ficar bonito.

Veja que:

[latex]\cot x +\tan x = 2\cdot \csc 2x \Rightarrow \tan x = 2\cdot \csc 2x - \cot x[/latex]

Ajeitando a equação temos:

[latex]S = \left ( 2\cdot \csc 2^{n+2} - \cot 2^{n+1} \right ) - \left ( 2\cdot \csc 2 - \cot 1 \right )[/latex]

[latex]S = \tan 2^{n+1} - \tan 1[/latex]

Assim fica mais bonito.

por **Vitor Ahcor** Sex 10 Jul 2020, 11:41

Lucius Draco escreveu:
Vitor Ahcor escreveu:Olá, se não errei nenhuma conta acho que é isso:

*obs: desconsidere a letra ruim kkk

Está correto, mas está feio kkkkk
Vou terminar para ficar bonito.

Veja que:

[latex]\cot x +\tan x = 2\cdot \csc 2x \Rightarrow \tan x = 2\cdot \csc 2x - \cot x[/latex]

Ajeitando a equação temos:

[latex]S = \left ( 2\cdot \csc 2^{n+2} - \cot 2^{n+1} \right ) - \left ( 2\cdot \csc 2 - \cot 1 \right )[/latex]

[latex]S = \tan 2^{n+1} - \tan 1[/latex]

Assim fica mais bonito.

Ah, bem melhor mesmo kkkk, boa!