Desafio 5: Matemática-Somatório

Mais um desafio! Desta vez da minha parte favorita da matemática.

(Senior Mathematical Challenge) - Determine o valor de S:

[latex]S=\sum_{n=1}^{\infty} {\frac{F_{n}}{2^n}}[/latex]

Obs.: Se achar fácil resolva o caso geral.
[latex]S=\sum_{n=1}^{\infty} {\frac{F_{n}}{p^n}}[/latex], admitindo que a soma converge.

EDIT.: Fn é o número de fibonacci.

O que seria Fn? Um conjunto genérico de funções F1, F2,...?

Perdão, não explicitei.

É fibonacci.

Olá, 

Vamos para um dado p, tal que S seja convergente:

[latex]S = \frac{F_1}{p} + \frac{F_2}{p^2} + \frac{F_3}{p^3}+\frac{F_4}{p^4}+...+\frac{F_p}{p^p}+... \, \,(I)[/latex] 

[latex]\frac{S}{p} = \, \, \,\, \, \, \, \, \, \,\, \, \,   \frac{F_1}{p^2} + \frac{F_2}{p^3} + \frac{F_3}{p^4}+...+\frac{F_{p-1}}{p^p}+... \, \,(II)[/latex]

[latex]\frac{S}{p^2} =\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,\, \, \, \, \, \,  \, \, \, \, \, \,  \frac{F_1}{p^3} + \frac{F_2}{p^4} + ...+\frac{F_{p-2}}{p^p}+... \, \,(III)[/latex]

Como foi dado que S converge, então de (I)-(II)-(III):

[latex]S*(1-\frac{1}{p}-\frac{1}{p^2}) = \frac{F_1}{p} + \frac{F_2-F_1}{p^2} + \frac{F_3-F_2-F_1}{p^3}+...+\frac{F_p-F_{p-1}-F_{p-2}}{p^p}+...[/latex]

Mas por definição [latex]F_k - F_{k-1} - F_{k-2} = 0[/latex]. Daí, ficamos:

[latex]S*\frac{p^2-p-1}{p^2} = \frac{F_1}{p} = \frac{1}{p}[/latex]

[latex]\therefore S = \frac{p}{p^2-p-1}[/latex].

O cara é bom mesmo.

Fazendo de "outra forma":

[latex]S = \sum_{k=1}^{\infty }{\frac{F_{n}}{p^n}}[/latex]

[latex]S = \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2}+\sum_{n=3}^{\infty }{\frac{F_{n}}{p^n}}[/latex]

[latex]S = \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2}+\sum_{n=3}^{\infty }{\frac{F_{n-1} + F_{n-2}}{p^n}}[/latex]

[latex]S = \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2}+\frac{1}{p}\cdot \sum_{n=3}^{\infty }{\frac{F_{n-1}}{p^{n-1}}} +\frac{1}{p^2}\cdot \sum_{n=3}^{\infty }{\frac{F_{n-2}}{p^{n-2}}}[/latex]

[latex]S = \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2}+\frac{1}{p}\cdot \left ( S-\frac{1}{p} \right )+\frac{1}{p^2}\cdot S[/latex]

[latex]S\cdot \left ( 1 - \frac{1}{p} - \frac{1}{p^2}\right ) = \frac{1}{p}[/latex]

[latex]S\cdot \left ( p^2 - p - 1\right ) = p[/latex]

[latex]S = \frac{p}{p^2 - p - 1}[/latex]

Acho que vou postar somatório até Domingo, depois vou para geometria.