Desafio 7: Matemática-Somatório

Desafio 7 (Semana de somatório)
Mais um com Fibonacci.

(The Fibonacci Quarterly - 1969) Determine S:

[latex]S = \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{F_{n}\cdot F_{n+4}}[/latex]

Obs.: F_n é o número de fibonacci.

Acabou o tempo!

Veja que:

[latex]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{F_{n}\cdot F_{n+2}} -3\cdot \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{F_{n}\cdot F_{n+4}} = \sum_{n=1}^{\infty }\frac{F_{n+4} - 3\cdot F_{n+2}}{F_{n}\cdot F_{n+2}\cdot F_{n+4}} = \ \sum_{n=1}^{\infty }\frac{-F_{n}}{F_{n}\cdot F_{n+2}\cdot F_{n+4}} = -\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{F_{n+2}\cdot F_{n+4}}[/latex]

[latex]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{F_{n}\cdot F_{n+2}} -3\cdot \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{F_{n}\cdot F_{n+4}} = -\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{F_{n+2}\cdot F_{n+4}}[/latex]

[latex]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{F_{n}\cdot F_{n+2}} -3\cdot \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{F_{n}\cdot F_{n+4}} =\frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{1\cdot 3} -\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{F_{n}\cdot F_{n+2}}[/latex]

Ajeitando a equação:

[latex]3\cdot \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{F_{n}\cdot F_{n+4}} = 2\cdot \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{F_{n}\cdot F_{n+2}} - \frac{5}{6}[/latex]

Sabendo que:

[latex]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{F_{n}\cdot F_{n+2}} = 1[/latex]

temos:

[latex]3\cdot S = 2\cdot 1 - \frac{5}{6} \Rightarrow S=\frac{7}{18}[/latex]