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Desafio 2: Matemática-Trigonomagia

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Resolvido Desafio 2: Matemática-Trigonomagia

Mensagem por Lucius Draco Seg 06 Jul 2020, 11:00

Continuando a série de desafios: Para as coisas ficarem organizadas, postarei uma questão por dia sempre às 12:00h, respondendo às 22:00h. (Assim fica melhor para mim)
Obs.: Sempre que eu publicar uma questão de minha autoria, irei apelidar carinhosamente de UFI(Universidade Federal do Inferno).

(UFI - 2020) Calcule S:

S = tan2(10º) + tan2(20º) + tan2(30º) + ... + tan2(70º) + tan2(80º)


Última edição por Lucius Draco em Seg 06 Jul 2020, 21:59, editado 1 vez(es)
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Resolvido Re: Desafio 2: Matemática-Trigonomagia

Mensagem por Vitor Ahcor Seg 06 Jul 2020, 12:33

Olá, penso que uma saída seja essa:

Vamos E = sen²(10°)/cos²(10°) + ... + sen²(80°)/cos²(80°)

Note, ao somarmos os complementares:

sen²10/cos²10 + sen²(80°)/cos²(80°) = 

=sen²10/cos²10 + cos²(10°)/sen²(10°) = 

=[(sen²10)² + (cos²10)²] / sen²10*cos²10 = 

= (1 - 2sen²10*cos²10)/sen²10*cos²10 = 

= 4/sen²20 - 2.

Com raciocínio análogo, fica:

E = 4*(1/sen²20 + 1/sen²40 + 1/sen²80) + 4/sen²60 - 8

E = 4*(1/sen²20 + 1/sen²40 + 1/sen²260) + 4/sen²60 - 8

Veja, as raízes da equação abaixo são sen20, sen40 e sen260:

sen(60°) = 3senx - 4 sen³x

√3/2 = 3senx - 4sen³x

8sen³x - 6senx + √3 = 0

Artifício: senx = 1/y, a nova equação terá como raízes 1/sen20, 1/sen40 e 1/sen260

√3*y³ - 6y² + 8 = 0

Por Girard: 

1/sen²20 + 1/sen²40 + 1/sen²260 = (6/√3)² - 2*0 

.: 1/sen²20 + 1/sen²40 + 1/sen²260 = 12

De tal modo 

E = 4*12 - 8 + 4*4/3 .: E = 136/3.
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Resolvido Re: Desafio 2: Matemática-Trigonomagia

Mensagem por Lucius Draco Seg 06 Jul 2020, 17:16

Show de Bola. Um verdadeiro Membro da Ordem do Templo!
Brincadeiras à parte, a ideia da transformação trigonométrica foi genial. Entretanto, existe uma solução que não necessita desta transformação. 
Vou esperar até às 22:00h para ver se alguém posta uma resolução diferente. 
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Resolvido Re: Desafio 2: Matemática-Trigonomagia

Mensagem por Vitor Ahcor Seg 06 Jul 2020, 18:09

@Lucius Draco escreveu:
Show de Bola. Um verdadeiro Membro da Ordem do Templo!
Brincadeiras à parte, a ideia da transformação trigonométrica foi genial. Entretanto, existe uma solução que não necessita desta transformação. 
Vou esperar até às 22:00h para ver se alguém posta uma resolução diferente. 
kkkk valeu Lucius, parece ser mt boa a sua outra solução, estou no aguardo !
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Resolvido Re: Desafio 2: Matemática-Trigonomagia

Mensagem por Lucius Draco Seg 06 Jul 2020, 21:02

Tempo esgotado. Postando o outro jeito de fazer a solução.

Antes de fazer o problema preciso mostrar uma formula. (Obs.: não irei demonstrar está formula, pois a reposta ficaria muito extensa. Entretanto, mostrarei através de lógica)

Veja que:

[latex]\tan{(2 \cdot \alpha)}=\frac{\binom{2}{1}\cdot \tan^{1}{\alpha }}{\binom{2}{0}\cdot \tan^{0}{\alpha }-\binom{2}{2}\cdot \tan^{2}{\alpha }}[/latex]

[latex]\tan{(3 \cdot \alpha)}=\frac{\binom{3}{1}\cdot \tan^{1}{\alpha } - \binom{3}{3}\cdot \tan^{3}{\alpha }}{\binom{3}{0}\cdot \tan^{0}{\alpha }-\binom{3}{2}\cdot \tan^{2}{\alpha }}[/latex]

[latex]\tan{(4 \cdot \alpha)}=\frac{\binom{4}{1}\cdot \tan^{1}{\alpha } - \binom{4}{3}\cdot \tan^{3}{\alpha }}{\binom{4}{0}\cdot \tan^{0}{\alpha }-\binom{4}{2}\cdot \tan^{2}{\alpha } + \binom{4}{4}\cdot \tan^{4}{\alpha }}[/latex]

[latex]\tan{(5 \cdot \alpha)}=\frac{\binom{5}{1}\cdot \tan^{1}{\alpha } - \binom{5}{3}\cdot \tan^{3}{\alpha } + \binom{5}{5}\cdot \tan^{5}{\alpha }}{\binom{5}{0}\cdot \tan^{0}{\alpha }-\binom{5}{2}\cdot \tan^{2}{\alpha } + \binom{5}{4}\cdot \tan^{4}{\alpha }}[/latex]

...

Bom, acho que vocês já entenderam o que vai ocorrer.

i)Sendo:

[latex]\alpha \: \epsilon \left \{ 10 \degree ,20 \degree ,30 \degree ,40 \degree ,50 \degree ,60 \degree ,70 \degree ,80 \degree \right \}[/latex]

Temos:

[latex]\tan{(18\cdot \alpha )}= 0[/latex]

[latex]\frac{\binom{18}{1}\cdot \tan ^{1}{\alpha }-\binom{18}{3}\cdot \tan ^{3}{\alpha }+\binom{18}{5}\cdot \tan ^{5}{\alpha }-\binom{18}{7}\cdot \tan ^{7}{\alpha }+...}{\binom{18}{0}\cdot \tan ^{0}{\alpha }-\binom{18}{2}\cdot \tan ^{2}{\alpha }+\binom{18}{4}\cdot \tan ^{4}{\alpha }-\binom{18}{6}\cdot \tan ^{6}{\alpha }+...}=0[/latex]

[latex]\binom{18}{1}\cdot \tan ^{1}{\alpha }-\binom{18}{3}\cdot \tan ^{3}{\alpha }+\binom{18}{5}\cdot \tan ^{5}{\alpha }-\binom{18}{7}\cdot \tan ^{7}{\alpha }+... = 0[/latex]

Invertendo:

[latex]\binom{18}{17}\cdot \tan ^{17}{\alpha }-\binom{18}{15}\cdot \tan ^{15}{\alpha }+\binom{18}{13}\cdot \tan ^{13}{\alpha }-\binom{18}{11}\cdot \tan ^{11}{\alpha }+... = 0[/latex]

Como tanα ≠ 0, temos:

[latex]\binom{18}{17}\cdot \tan ^{16}{\alpha }-\binom{18}{15}\cdot \tan ^{14}{\alpha }+\binom{18}{13}\cdot \tan ^{12}{\alpha }-\binom{18}{11}\cdot \tan ^{10}{\alpha }+... = 0[/latex]

Fazendo x = tan2α, temos:

[latex]\binom{18}{17}\cdot x ^{8}-\binom{18}{15}\cdot x ^{7}+\binom{18}{13}\cdot x^{12}-\binom{18}{11}\cdot x^{5}+\binom{18}{9}\cdot x^4 - \binom{18}{7}\cdot x^3 + \binom{18}{5}\cdot x^2 -\binom{18}{3}\cdot x + \binom{18}{1} = 0[/latex]

Sendo as raízes do polinônio, tan2α com α ∈ {10º,20º,30º,40º,50º,60º,70º,80º}

ii)Portanto,

Pelas relações de girard:

[latex]S=\frac{\binom{18}{15}}{\binom{18}{17}}=\frac{17!\cdot 1!}{15!\cdot 3!}=\frac{17\cdot 16}{6}=\frac{136}{3}[/latex]
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Resolvido Re: Desafio 2: Matemática-Trigonomagia

Mensagem por Vitor Ahcor Seg 06 Jul 2020, 21:23

Sensacional a ideia de usar a expansão de tg18θ, Lucius. Eu estava tentando usar tg9θ, mas obviamente não estava dando certo, bela solução !
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Resolvido Re: Desafio 2: Matemática-Trigonomagia

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