expansão decimal

por poisedom Sex 20 Mar 2020, 12:44

Como resolver a seguinte questão

João começou a calcular manualmente a expansão decimal de \dfrac{1}{47}. Após ter chegado a 0,021276595744880851063829787 percebendo que ainda não tinha chegado a uma expansão periódica, ele se cansou e chamou Antonio para terminar a expansão. Este, utilizando o resultado encontrado por João não teve dificuldade para encontrar o restante do período. A soma dos algarismos que estavam faltando no período é igual a:
(A)71
(B)73
(C)75
(D)77
(E)79

Gabarito Letra D

Questão 37 do livro do Problemas selecionados de Matemática do Gandhi

Link do livro https://www.lcm.com.br/site/livros/detalhesLivro/f/problemas-selecionados-de-matematica.html

por **Forken** Sáb 28 Mar 2020, 02:15

Função Totiente de Euler
\text{Seja p primo, }\text{ent\~ao }\phi(p)=p-1
\text{Como p=}47,\text{ent\~ao}\;\;\phi(47)=46

D(46)=\left \{1,2,23,46 \right \}
O período só pode ser de 1, 2, 23 ou 46, mas como João já calculou 27, a única possibilidade é 46.
46 - 27 = 19 (Queremos a soma dos 19 algarismos)

Pelo Teorema de Mydi ( http://www.rpm.org.br/cdrpm/66/9.html )
02127659574468085106382
+ 97872340425531914893617
------------------------------------
99999999999999999999999

Somando os algarismos: 2+3+4+0+4+2+5+5+3+1+9+1+4+8+9+3+6+1+7=77

por **CaiqueF** Sáb 28 Mar 2020, 02:43

Belíssima resolução, Forken.
Não entendi mas achei interessante.

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