(ITA) matriz ortogonal

por **Emanuel Dias** Ter 10 Mar 2020, 20:32

(ITA). Uma matriz real n × n A que satisfaz as relações AA^T=A^TA=Inxn é chamada ortogonal.

a) Dê exemplo de uma matriz ortogonal 2× 2 , distinta da matriz identidade.
b) Encontre a matriz ortogonal geral 2× 2 .
c) Mostre que o produto de duas matrizes ortogonais é uma matriz ortogonal.
d) Mostre que a inversa de uma matriz ortogonal é uma matriz ortogonal

ITA sendo generoso e dando definições, chega a ser estranho.

resolvi somente a letra c.

por **fantecele** Sex 13 Mar 2020, 14:40

Se eu tivesse fazendo essa questão em um dia de prova, eu tentaria fazer primeiramente a letra c e a d, pois ela parecem ser mais rápidas de se fazer, aí depois eu iria para a letra b, pois é mais fácil (eu acho) encontrar a matriz ortogonal 2x2 e depois dar um exemplo do que ficar chutando matrizes até encontrar uma que seja ortogonal, mas como não estamos em uma prova, vou começar pela letra b kkk

Considere a matriz A sendo igual a:

$\\A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$

Da relação do enunciado temos que:

$\\A.A^t=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} a & c\\ b & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a^2+b^2 & ac+bd\\ ac+bd & c^2+d^2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\\\\\\A^t.A=\begin{pmatrix} a & c\\ b & d \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a^2+c^2 & ab+dc\\ ab+dc & b^2+d^2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Das igualdades matriciais iremos encontrar as seguintes igualdades:

a² + b² = 1 (I)
c² + d² = 1 (II)
a² + c² = 1 (III)
b² + d² = 1 (IV)
ac + bd = 0 (V)
ab + dc = 0 (VI)

De (I) - (IV) iremos encontrar que a = d ou a = - d.
Em (V) temos que se a = d então b = d, e se a = - d então b = c.

Daqui já podemos tirar as matrizes ortogonais, perceba que não é necessário analisar todas as subtrações possíveis das igualdades ali em cima, pois elas sempre irão dar esses resultados. Perceba mais ainda que de (I) podemos escrever a como sendo sen(x) e b como sendo cos(x) para algum x real, dessa forma, as matrizes ortogonais irão ser das formas:

$\\\begin{pmatrix} sen(x) & cos(x)\\ -cos(x) & sen(x) \end{pmatrix}\,\,ou\begin{pmatrix} sen(x) & cos(x)\\ cos(x) & -sen(x) \end{pmatrix}$

Com x pertencente aos reais, daí acabamos a letra b, para a letra a é só "jogar" algum valor de x qualquer, de forma que a matriz resultante seja diferente da identidade.

Para a letra c, vamos considerar as matrizes transpostas A e B, ou seja $\tiny \\AA^t=A^tA=I$ e $\tiny \\BB^t=B^tB=I$ , dessa forma:

$\\AB(AB)^t=ABB^tA^t=AIA^t=AA^t=I\\(AB)^tAB=B^tA^tAB=B^tIB=B^tB=I$

Daí tiramos que $\tiny \\AB(AB)^t=(AB)^tAB=I$ e, portanto, a multiplicação de duas matrizes ortogonais é também uma matriz ortogonal.

Para a letra d perceba que pela relação dada no enunciado podemos tirar que $\tiny \\A.A^t=A^t.A=I\Rightarrow A^{-1}=A^t$ , então uma matriz é ortogonal se ela satisfaz a segunda relação, daí, perceba que se aplicamos "inversa" nessa segunda operação, iremos obter que $\tiny \\A^{-1}=A^t\Rightarrow A=(A^t)^{-1}\Leftrightarrow (A^t)^{-1}=(A^t)^t$ , então a inversa de uma matriz ortogonal é também uma matriz ortogonal.

Bem, eu acho que é isso aí, qualquer dúvida é só falar.

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