Binomio newton

Vou dar um exemplo com quadrado para facilitar.

(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=1x^2+2xy+1y^2  
os números 1, 2 e 1 são os coeficientes, note que se eu fizer x=y=1, para todo termo do desenvolvimento terei 1^2=1 1*1=1, generalizando, sempre que  x=y=1,  temos
 (x+y)^2=x^2+2xy+y^2=1^2+2\cdot 1\cdot 1+1^2=1+2+1=3


Ou seja, se fizer x=y=1, os valores elevado a ordem n serão sempre 1 e o que restará no termo é o coeficiente.

(x+2y+z)^2=(x+2y+z)(x+2y+z)=4xy+2xz+x^2+4y^+4yz+z^2

Os coeficientes que não aparecem valem 1, fazendo x=y=z=1 vem:

4xy+2xz+x^2+4y^+4yz+z^2=4+2+1+4+4+1=16


O que você tem que enxergar é que, quando as variáveis valem 1, o resultado obtido é igual a soma dos coeficientes porque todo termo substituindo as variáveis por 1 o resultado para cada termo é o coeficiente.

Veja se isso deixa claro:

(x+y)³ = x³+3x²y+3xy³+y³    os coeficientes que não aparecem valem 1, a soma dos coeficientes então é 1+3+3+1=8

Se eu fizer x=y=1  teria 1^3+3*1²*1+31*1²+1³   (aqui eu apenas substitui as variáveis por 1, de modo que assim. elas não influenciam no valor do coeficiente da cada termo, porque o coeficiente * 1 é o próprio coeficiente. Por isso que substituir todas as variáveis por 1 resulta na soma dos coeficientes

Não tem razão para desculpar, eu também demorei um pouco para entender essa parte

Cada termo tem um coeficiente, se toda variável junto a esse coeficiente vale 1, coeficiente * variável = coeficiente. Então, mesmo que tenha uma expansão multinomial, se substituir TODOS os coeficientes por 1, digamos por exemplo que 256x²y³z seja um dos termos de uma expansão, se todas as variáveis forem substituídas por 1 teria-se 256*1²*1³*1 = coeficiente = 256.