Equações polinomiais

por gregoriotsg Dom 31 Jul 2011, 17:03

Se w,s e t são as raízes da equação x³-x-1=0 , calcule [(1+w)/(1-w)]+[(1+s)/(1-s)]+[(1+t)/(1-t)]

Pessoal, consegui chegar a resposta com as relações de Girard, porém penei muito.
Gostaria de saber se alguém poderia me ajudar com uma resposta mais econômica e mais direta.

att.: Gregorio Tomas

por **Elcioschin** Dom 31 Jul 2011, 18:14

Gregório

Não existe solução mais simples.
Por favor, poste sua solução para ajudar outros usuários do fórum

por gregoriotsg Seg 01 Ago 2011, 22:36

Utilizando as relações de Girard:
{█(w+s+t=0 @ws+wt+st=1@wst=1)┤
E desenvolvendo o termo, teremos:
(1+w)/(1-w)+(1+s)/(1-s)+(1+t)/(1-t)=((1+w)(1-s)(1-t)+(1-w)(1+s)(1-t)+(1-w)(1-s)(1+t))/(1-w)(1-s)(1-t) =
=((1+w)(1-s)(1-t)+(1-w)(1+s)(1-t)+(1-w)(1-s)(1+t))/(1-(w+s+t)+ws+wt+st-wst)=
=(3-(t+s+w)-(ws+wt+st)+3wst)/(1-(w+s+t)+ws+wt+st-wst)=
=(3-0-1+3)/(1-0+1-1)=
=5

por gregoriotsg Seg 01 Ago 2011, 22:37

Pessoal,

não estou seguro quanto a resposta final, então sugiro que revisem.

att.: Gregorio Tomas

por **Elcioschin** Ter 02 Ago 2011, 09:45

Gregorio

Notei dois erros:

x³ - x - 1 = 0 ----> x³ + 0*x² - 1*x - 1 = 0

Relações de Girard

w + s + t = 0 ----> OK

ws + wt + st = - 1 ----> Erro de sinal

wst = 1 ----> OK

Na 4ª linha do desenvolvimento:

= (3-(t+s+w)-(ws+wt+st)-3wst)/(1-(w+s+t)+ws+wt+st-wst) ----> Erro de sinal

Por favor confira, e, caso concorde, refaça o resultado final

por gregoriotsg Ter 02 Ago 2011, 16:24

Ok, percebi o erro.

(1+w)/(1-w)+(1+s)/(1-s)+(1+t)/(1-t)=((1+w)(1-s)(1-t)+(1-w)(1+s)(1-t)+(1-w)(1-s)(1+t))/(1-w)(1-s)(1-t) =
=((1+w)(1-s)(1-t)+(1-w)(1+s)(1-t)+(1-w)(1-s)(1+t))/(1-(w+s+t)+ws+wt+st-wst)=
=(3-(t+s+w)-(ws+wt+st)+3wst)/(1-(w+s+t)+ws+wt+st-wst)=
=(3-0+1+3)/(1-0-1-1)=
=-7

o resultado é mesmo - 7, porém acredito que haja uma alternativa mais fácil de se chegar a esse resultado.

Você não acha Elcioschin?

obrigado pela verificação.