Equações Polinomiais 2

Sejam x1, x2 e x3 as raízes da equação x³ - 6x² + 3x - 1 = 0. Determine o polinômio x³ + ax² + bx + c = 0, que tem raízes x1x2, x1x3 e x2x3, e indique o valor do produto abc.

Não consigo resolver, podem me ajudar? (:

Valeu!

x³ - 6x² + 3x - 1
S = x1+x2+x3 = 6
S' = x1x2 + x1x3 + x2x3 = 3
P = x1x2x3 = 1


x³ + ax² + bx + c = 0
S = -a
-a = 3 -> a = -3
P = (x1x2x3)² = - c
-c = 1 , c =-1

S' = x1²x2x3 + x1x2²x3 + x1x2x3²
S' = x1x2x3( x1 + x2 + x3)
S' =b = 1(6) , b = 6

abc = 18

Obrigada! Me ajudou muito!

Tem um jeito mais fácil de resolver.
Pelas relações de Girard:
x1*x2*x3 = 1
A nova equação tem as raizes na forma:
x1' = x1*x2 = (x1*x2*x3)/x3 = 1/x3
x2' = x2*x3 = (x1*x2*x3)/x1 = 1/x1
x3' = x1*x3 = (x1*x2*x3)/x2 = 1/x2
Fica claro que ela então é resultado de uma transformada polinomial da forma:
x' = 1/x => x = 1/x'
Substituindo:
1/x'³ - 6/x'² + 3/x' - 1 = 0 (*x'³)
1 - 6x' + 3x'² - x'³ = 0 => -x'³ + 3x'² - 6x' + 1 = 0 => x'³ - 3x'² + 6x' - 1 = 0
abc = 18.
É um raciocinio direto, extendi ele pra ficar mais claro.

Bom, certo entendi o raciocínio utilizando as relações de Girard.

Porém, porque não consigo resolver dessa forma? Tentando achar as raizes x1, x2 e x3 (que foi o que eu pensei primeiramente)?

X³-6x²+3x-1=0 é o polinômio que possui as raizes x1, x2 e x3.
Como o polinomio possui grau ímpar, logo ele apresenta pelo menos uma raiz real (Teorema das raízes complexas).

Então sabendo disso, tentei usar o teorama das raízes racionais onde P é divisor de a0 e Q é divisor de an.

Possíveis candidatos a P {±1} e Q {1}.
Logo os candidatos a raiz real são (P/Q) {±1}

Porém eles não satisfazem a equação x³-6x²+3x-1=0 em nenhum dos casos...

\\1^{3}-6\cdot1^{2}+3\cdot1 -1=0\\1-6+3-1=0\\-3\ne0
(logo 1 não é raiz)
\\-1^{3}-6\cdot(-1)^{2}+3\cdot (-1) -1=0\\-1-6-3-1=0\\-11\ne0
(logo -1 não é raiz)

Não consigo solucionar dessa outra maneira?

Agradeço desde já =)

Não, porque não existe raiz racional.
E o enunciado também NÃO pede o valor das raízes x1, x2, x3

Mas equações polinomiais de grau impar não aceitam pelo menos uma raiz real?

Ele falou raízes racionais, não reais. E sim, equações polinomiais de grau impar aceitam pelo menos uma raiz real.
A raíz real da equação polinomial x³-6x²+3x-1=0 é


e as não reais são:

Ops Mil desculpas, confundi tudo