Reta tangente - derivada

por SanchesCM Dom Jul 14 2019, 21:25

Olá, gostaria de saber como acho uma reta tangente a uma parábola, tendo apenas um ponto qualquer em que esta reta passa e sendo dado a equação da parábola.

Por exemplo:

A reta passa por A(-3,0) (não é o ponto de tangência) e a parábola é descrita por x=3y².
GAB: x+6y+3=0

Eu só estou conseguindo resolver por derivada quando ele dá o ponto de tangência, agora nesse tipo de questão acima não ta saindo por cálculo, gostaria de saber se seria viável fazê-lo assim para poupar tempo, até pq quando ele dá o ponto de tangência a questão sai em uma linha.

por **Giovana Martins** Dom Jul 14 2019, 21:42

Seja (m,n) o ponto de intersecção. Podemos escrever este ponto sobre outra perspectiva tendo em vista que este ponto pertence a parábola. Assim, o ponto (m,n) é da forma (3n²,n).

Coeficiente angular da reta:

c=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{n}{3n^2+3}

Derivando implicitamente a equação da parábola e obtendo a taxa de variação em y=n:

\\x=3y^2\to \frac{d}{dx}(x)=\frac{d}{dx}(3y^2)\to 1=6y\frac{dy}{dx}\to \frac{dy}{dx}=\frac{1}{6y}\ \therefore \ \left [ \frac{dy}{dx} \right ]_{y=n}^{ }=\frac{1}{6n}

A taxa de variação corresponde ao coeficiente angular, logo:

\\ \left [ \frac{dy}{dx} \right ]_{y=n}^{ }=\frac{1}{6n}=c\to \frac{1}{6n}=\frac{n}{3n^2+3}\to n=\pm 1\ \therefore \ (m,n)=(3,\pm 1)

Agora é só construir as retas:

\\\mathrm{Para}\ (3,\pm 1)\ \mathrm{e}\ (-3,0):\ \boxed {x-6y+3=0\ \vee\ x+6y+3=0}

por SnoopLy Dom Jul 14 2019, 23:57

Giovana, existe um erro na última linha, seria (-3,0)

Uma solução sem derivadas

A reta passa por (-3,0)

Podemos ter uma equação da reta do tipo y=m(x+3)

A equação da parábola é x=3y²

x=3(m(x+3))²
x=3m²(x²+6x+9)

Fazendo as continhas, vai chegar que

∆ = 1-36m²

Mas ∆ =0 obrigatoriamente pois a reta é tangente

Então

m²=1/36
m=±1/6

y=1/6(x+3)
ou
y=-1/6(x+3)