ITA 1976

Considere um tetraedro regular circunscrito em uma esfera de raio R. Designando por H, a, h e V, respectivamente, a altura, aresta, altura da base e o volume desse tetraedro, temos: 
a)V=(2√3)/3R³ e  h=(3√2)/4H
b)V=8√3R³  e   a=√6/2
c)V=(4√2)/3R³ e H=4R
d)V=6√2R² e H=4R


Não entendi o porquê do H=4R, imagino que seja uma dúvida trivial, mas gostaria de entender. 
Não notei nada no enunciado que permita deduzir isso.

Oiii, Melissa.

Pelas regras do fórum as questões devem ser postadas em modo texto. Por favor, edite a postagem.

Leia: https://pir2.forumeiros.com/Regulamentos-h26.htm

Seja bem-vinda!

Em um tetraedro regular, a soma das distâncias de um ponto interior qualquer às 4 faces é igual a H do tetraedro.
Então, r + r + r + r = h --- h = 4r
Também sabemos que possuímos 4 pirâmides que completam o tetraedro no seu V, às quais eu dividirei em x, y, z e w. A partir disso sabemos que a soma de seus V tem que ser = 1/3 Ab.H
1/3 Ab.X + 1/3 Ab.Y + 1/3 Ab.Z + 1/3 Ab.W = 1/3 Ab.H 
então:
X + Y + Z + W = H 
Fazendo com que X = Y = Z = W = R, temos que a soma deles é 4R, já que R é o raio da esfera. 

Espero ter conseguido explicar, bons estudos.

Melissa, o raio de uma esfera inscrita em um tetraedro regular vale R=a√6/12. Como "a" é igual a H√6/2, então, H=4R. Tem uma questão da OBMEP que ensina a demonstrar isso. Quando eu achar eu te mando.

A propósito, você podia ter deixado as imagens desde que o enunciado seja transcrito. Se possível, você poderia colocar a imagem novamente para que outros membros possam ver a resolução, por favor? Grata.

A resolução substituiu o valor da aresta nessa relação: , valida para uma circunferência inscrita em um tetraedro. Você acha demonstrações disso na internet.

http://clubes.obmep.org.br/blog/problemao-esfera-inscrita/ Demonstração aqui, bem simples.

Muito obrigada a todos, sinto que isso é algo que eu deveria saber! 
Grata pelo conhecimento de vocês