Números complexos
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Números complexos
por Giovana Martins Sáb 05 Jan 2019, 00:44
Sejam z1 e z2 dois números complexos tais que |z1+z2|=1 e |(z1)²+(z2)²|=25. Qual é o valor mínimo de |(z1)³+(z2)³|?
A) 24 B) 33 C) 37 D) 42
Nota: não possuo o gabarito.
A) 24 B) 33 C) 37 D) 42
Nota: não possuo o gabarito.
Última edição por Giovana Martins em Sáb 05 Jan 2019, 14:44, editado 1 vez(es)
Giovana Martins- Grande Mestre
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Re: Números complexos
por Mateus Meireles Sáb 05 Jan 2019, 02:38
Eu vou começar e depois tento mexer no resto se ninguém terminar antes
\begin{align*}
\left|(z_1)^3+(z_2)^3\right| &= \left|(z_1 + z_2)(z_1^2 -z_1z_2 + z_2^2)\right| \\
&= \left|(z_1 + z_2)\right| \left|(z_1^2 -z_1z_2 + z_2^2)\right| \\
&= 1 \cdot \left|(z_1^2 -z_1z_2 + z_2^2)\right| \\
&= \left|(z_1^2 +z^2) - (z_1z_2)\right| \geqslant \left| |(z_1^2 +z^2)| - |(z_1z_2)| \right| \\
&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\geqslant \left| 25 - |(z_1z_2)| \right|
\end{align*}
⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀
\left|(z_1)^3+(z_2)^3\right| &= \left|(z_1 + z_2)(z_1^2 -z_1z_2 + z_2^2)\right| \\
&= \left|(z_1 + z_2)\right| \left|(z_1^2 -z_1z_2 + z_2^2)\right| \\
&= 1 \cdot \left|(z_1^2 -z_1z_2 + z_2^2)\right| \\
&= \left|(z_1^2 +z^2) - (z_1z_2)\right| \geqslant \left| |(z_1^2 +z^2)| - |(z_1z_2)| \right| \\
&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\geqslant \left| 25 - |(z_1z_2)| \right|
\end{align*}
⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀
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Re: Números complexos
por Giovana Martins Sáb 05 Jan 2019, 14:16
Consegui terminar. Obrigada, Mateus.
\\(z_1+z_2)^3=z_1^3+z_2^3+3z_1z_2(z_1+z_2)\to \\\\z_1^3+z_2^3=(z_1+z_2)^3-3z_1z_2(z_1+z_2)\to z_1^3+z_2^3=(z_1+z_2)\left [(z_1+z_2)^2-3z_1z_2 \right ]\ (1)\\\\(z_1+z_2)^2=z_1^2+z_2^2+2z_1z_2\to 3z_1z_2=\frac{3}{2}(z_1+z_2)^2-\frac{3}{2}(z_1^2+z_2^2) \ (2)\\\\\mathrm{De\ (1)\ e\ (2):}\ z_1^3+z_2^3=(z_1+z_2)\left [ \frac{3}{2}(z_1^2+z_2^2)-\frac{1}{2}(z_1+z_2)^2 \right ]\\\\\mathrm{Propriedade:\ }|z-w|\geq ||z|-|w||,\forall\ z,w\in \mathbb{C}\\\\\left |z_1^3+z_2^3 \right |=\underset{1}{\underbrace{\left |z_1+z_2 \right |}}\left | \frac{3}{2}(z_1^2+z_2^2)-\frac{1}{2}(z_1+z_2)^2 \right |=\left | \frac{3}{2}(z_1^2+z_2^2)-\frac{1}{2}(z_1+z_2)^2 \right |\\\\\left |z_1^3+z_2^3 \right |=\left | \frac{3}{2}(z_1^2+z_2^2)-\frac{1}{2}(z_1+z_2)^2 \right |\geq \left | \frac{3}{2}\left | z_1^2+z_2^2 \right |-\frac{1}{2}|z_1+z_2|^2 \right |\\\\\left |z_1^3+z_2^3 \right |\geq \left | \frac{3}{2}.25-\frac{1}{2}.(1)^2 \right |\to \boxed {\left |z_1^3+z_2^3 \right |\geq 37}
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