Equação do plano

Escreva uma equação do plano que contém o ponto (1, -2, 3) e é perpendicular a cada um dos planos:

I. 2x+y-z=2
II. x-y-z=3

O gabarito diz o seguinte: "o plano procurado é perpendicular à intersecção dos planos dados. Resposta 2x-y+3z=13

Não consigo visualizar o porquê disso, agradeço desde já.

os dois planos dados (I e II) são concorrentes numa reta (r). Se queremos um plano π perpendicular a ambos, então tal plano não poderá conter a reta r, antes deverá ser perpendicular a esta reta. Assim o vetor diretor da reta r, \vec{u}, também é o vetor normal do plano π que procuramos. Ver desenho.


plano I: 2x + y - z = 2 -----> \vec{n_{1}}=(2, 1, -1)
plano II: x - y - z = 3 -------> \vec{n_{2}}=(1, -1, -1)
\vec{n_{\pi}}=\vec{u} = \vec{n_{1}} \wedge \vec{n_{2}}=(-2, 1, -3)
portanto
π: -2x + y - 3z + d = 0
mas
P(1,-2,3)\in \pi ------> -2.(1) + 1.(-2) - 3.(3) + d = 0 ------> d = 13
.:. π: -2x + y - 3z + 13 = 0 <-----ou-----> 2x - y + 3z - 13 = 0