Segmento/equação do 2º(FUVEST)

por **abelardo** Ter 28 Jun 2011, 21:03

No segmento AC (não sei como colocar o traço em cima), toma-se um ponto B de forma que $\frac{AB}{AC}=\frac{2BC}{AB}$ . Então, o valor de $\frac{BC}{AB}$ é:

a) $\frac{1}{2}$

b) $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

c) $\sqrt{5}-1$

d) $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

e) $\frac{\sqrt{5}-1}{3}$

por **Kongo** Ter 28 Jun 2011, 21:34

Chamando
AB = X
BC = Y
AC = X + Y

Temos:
$\frac{x}{x+ y} = \frac{2y}{x} \\ x^2 = 2xy + 2y^2 \\ x^2 - 2xy - 2y^2 = 0 \\ \Delta = b^2 - 4.ac \\ \Delta = 4y^2 - 4.1.(-2y^2) \\ \Delta = 12y^2 \\ x = \frac{2y +- \sqrt{12y^2}}{2} \\\\ {\color{Red} x = y + \sqrt{3}.y}$

Como queremos:
BC/AB ou seja Y/X, faremos uso do x encontrado acima:
$\frac{BC}{AB} = \frac{Y}{X} \\ x = y + \sqrt{3}.y \\ \frac{BC}{AB} = \frac{Y}{y + \sqrt{3}.y} \\ \frac{BC}{AB} = \frac{1}{1 + \sqrt{3}} \\ Racionalizando: \\\\ {\color{Red} \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}}$

por **abelardo** Ter 28 Jun 2011, 22:23

Obrigado Kongo, já estava pensando em loucuras para responder essa questão kk.

por GabiCastro Qui 06 Ago 2020, 19:50

Kongo escreveu:Chamando
AB = X
BC = Y
AC = X + Y

Temos:
$gif.latex?\frac{x}{x+ y} = \frac{2y}{x} \\ x^2 = 2xy + 2y^2 \\ x^2 - 2xy - 2y^2 = 0 \\ \Delta = b^2 - 4.ac \\ \Delta = 4y^2 - 4.1.(-2y^2) \\ \Delta = 12y^2 \\ x = \frac{2y +- \sqrt{12y^2}}{2} \\\\ {\color{Red} x = y + \sqrt{3}.y}$

Como queremos:
BC/AB ou seja Y/X, faremos uso do x encontrado acima:
$gif.latex?\frac{BC}{AB} = \frac{Y}{X} \\ x = y + \sqrt{3}.y \\ \frac{BC}{AB} = \frac{Y}{y + \sqrt{3}.y} \\ \frac{BC}{AB} = \frac{1}{1 + \sqrt{3}} \\ Racionalizando: \\\\ {\color{Red} \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}}$

Caro kongo, poderia explicitar por que assumiu o y como 1 ?

por **Elcioschin** Qui 06 Ago 2020, 20:26

Ele NÃO fez y = 1 ---> Ele simplificou y com y

BC ........ y ................. y .............. 1
--- = ----------- = -------------- = ---------
AB.... y + √3.y .... y.(√3 + 1) .....√3 + 1