Integral dupla na forma polar

por **Giovana Martins** Seg 06 Ago 2018, 23:51

Determine o valor da integral de f(x,y,z)=x^2z sobre uma região do cone estabelecido por z^2=x^2+y^2, o qual encontra-se situado entre os planos z=1 e z=4.

Minha tentativa:

\\f(x,y,z)=x^2z\rightarrow f(x,y,z)=x^2\sqrt{x^2+y^2}\\\\ \left\{\begin{matrix}
z=1\rightarrow x^2+y^2=1\\
z=4\to x^2+y^2=4
\end{matrix}\right.\ \therefore \ 1\leq x^2+y^2\leq 4\\\\\left\{\begin{matrix}
x=x(r,\theta)=rcos(\theta)\\
y=y(r,\theta)=rsen(\theta)
\end{matrix}\right.\ \therefore \ D(r,\theta)=\left \{ (r,\theta)|1\leq r\leq 2,0\leq \theta\leq \frac{\pi }{2} \right \}\\\\\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}=\begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\
\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}
\end{vmatrix}\to \frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}=r\\\\\int \int _D_{(x,y)}f(x,y)dxdy=\int \int _D_{(r,\theta)}f(x(r,\theta),y(r,\theta))\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta)}drd\theta\\\\\int \int _D_{(x,y)}f(x,y)dxdy=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\int_{1}^{2}r^4cos^2(\theta)drd\theta=\boxed {\frac{31\pi }{20}}

Alguém pode confirmar a resposta?

por **Giovana Martins** Sex 10 Ago 2018, 15:41

Up

por **JOAO [ITA]** Seg 13 Ago 2018, 05:23

Encontrei \frac{341\pi}{5}.

O que eu penso que está errado na sua tentativa: você considerou que o z é uma função de x e y quando na verdade ele é uma variável independente.

O que foi pedido é a integral da função f(x,y,z) numa região do R³ dada pela intersecção entre o cone z² = x² + y², o plano z = 1 e o plano z = 4, ou seja, uma região que tem um volume.

Sugestão: Tente esboçar a região no papel (dará um tronco de cone de cabeça pra baixo). Após, pesquise sobre aplicação de coordenadas cilíndricas na resolução de integrais triplas sobre regiões do R³.

por **Giovana Martins** Seg 13 Ago 2018, 17:42

Muito obrigada, João. Olhando hoje o cálculo que eu postei eu vi que há alguns erros de conta também...

"O que eu penso que está errado na sua tentativa: você considerou que o z é uma função de x e y quando na verdade ele é uma variável independente."

Quanto a isto, fiz a consideração pelo desespero hahaha. Não sabia bem o que fazer. Vou tentar resolver aqui. Obrigada.

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