Cálculo - Continuidade e Derivada.

Pedr0 escreveu:

Giovana Martins escreveu:

Matheus, a questão não indicou método, pois ela está fora de contexto. Note que o Pedro está realizando o exercício de número 54, isto é, por trás da questão há a teoria de como se demonstra a continuidade da função e sua derivada no ponto considerado. No livro que o Pedro está usando, que me parece ser o Stewart pelo visual do enunciado, ele apresenta toda a teoria e depois vem a bateria de exercícios sobre o tópico que acabou de ser estudado, motivo pelo qual não é indicado o método.

A prova desse tipo de questão é feita usando a definição mesmo, ao invés das regras de definição. Se quiser buscar uma contraprova, tome por referência o Guidorizzi ou o próprio Stewart (ou qualquer outro livro de sua preferência).

Para o primeiro item:

\[\mathrm{\left [ \frac{df(x)}{dx} \right ]_{x=0}=\displaystyle \lim_{\delta \to 0}\frac{f(0+\delta )-f(0)}{\delta }=\displaystyle \lim_{\delta  \to 0}sin\left ( \frac{1}{\delta } \right )=\nexists}\]

Para o segundo item:

\[\mathrm{\left [ \frac{df(x)}{dx} \right ]_{x=0}=\displaystyle \lim_{\delta \to 0}\frac{f(0+\delta )-f(0)}{\delta }=\displaystyle \lim_{\delta  \to 0}\delta sin\left ( \frac{1}{\delta } \right )}\]

É sabido que:

\[\mathrm{-1\leq sin\left(\frac{1}{\delta }\right)\leq 1}\]

\[\mathrm{-|\delta |\leq \delta sin\left(\frac{1}{\delta }\right)\leq |\delta |\to -\cancelto{0}{\mathrm{\lim_{\delta  \rightarrow 0}|\delta |}}\leq \delta sin\left(\frac{1}{\delta }\right) \leq \cancelto{0}{\mathrm{\lim_{\delta  \rightarrow 0}|\delta |}}\ \therefore\ 0\leq \delta sin\left(\frac{1}{\delta}\right)\leq 0}\]

Pelo Teorema do Confronto, a derivada em x = 0 existe e é nula neste ponto.

Certo, mas gostaria de entender no primeiro item a justificativa para não haver. Entendi que você colocou uma justificativa matemática mas, talvez pelo meu nível atual, não consegui compreender. Poderia escrever como lemos por escrito  a justificativa?

Em relação ao item dois, compreendi a justificativa, apenas fiquei com dúvidas em relação ao item 1.

Em relação aos demais, como o Matheus, agradeço pelo apoio prestado na questão <3