Desafio | Câmera Óptica

1) Um sistema intitulado ''câmera óptica'' com foco igual a 20cm foi desenvolvido e testado. Seu funcionamento é baseado na posição de um objeto pequeno em um compartimento interno à câmera, o qual, por meio de um sistema de espelho côncavo, gera uma imagem invertida e ampliada, projetada em um anteparo cuja altura é três vezes maior que a imagem. Para que esta seja melhor visualizada, é indispensável a inversão da câmera, de modo que a imagem seja vista direita. O equipamento permite também uma captura impressa da imagem obtida por meio de outro sistema: ao pressionar um botão superior, este libera um pequeno disco de 100g à altura do anteparo que pressiona uma mola, cuja constante elástica é igual a 60N/m, capturando a imagem. Essa câmera, vista em posição já invertida, pode ser resumida pela seguinte imagem abaixo:



Considere que a gravidade local é igual a 10m/s² e não há forças dissipativas. Sabendo que, no momento em que uma pessoa utiliza esta câmera, o objeto a ser observado possui 5cm de altura e está a 10cm do espelho, a deformação sofrida pela mola quando a imagem a ser impressa é capturada é igual a:

a) 0,3m
b) 0,25m
c) 0,2m
d) 0,15m
e) 0,1m

Giovana Martins escreveu:

Matheus, eu não sou muito confiável em óptica, mas vou postar alguns pensamentos. Tinha esperado um pouco para ver se algum membro mais habilitado postava algo.

Da equação de Gauss:

\[\mathrm{\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}\to \frac{1}{20}=\frac{1}{10}+\frac{1}{p'}\ \therefore\ p'=-20\ cm}\]

Como p' < 0, tem-se uma imagem virtual, isto é, uma imagem formada atrás do espelho.

O aumento da imagem é dado por:

\[\mathrm{A=-\frac{p'}{p}\to A=-\frac{(-20)}{10}\ \therefore\ A=2\ (adimensional)}\]

A altura da imagem corresponde ao dobro da altura do objeto. Como o objeto possui 5 cm de altura, logo, a imagem possui 10 cm de altura.

A altura do anteparo, por sua vez, corresponde ao triplo da altura da imagem, logo, a altura do anteparo corresponde a 30 cm.

Por fim, da conservação da energia, tem-se:

\[\mathrm{E_{m,i}=E_{m,f}\to mgh=\frac{1}{2}k\ell ^2\to \ell =\sqrt {\frac{2mgh}{k}}\to \ell =\sqrt{\frac{2\times 0,1\times 10\times 0,3}{60}}\ \therefore\ \ell = 0,1\ m}\]

Perfeito, tudo correto! Sua resolução foi a que eu estava esperando.

Apenas como adendo: Você poderia, em vez de calcular o aumento linear transversal, utilizar (mas não muda muita coisa, já que a ideia é praticamente a mesma):

-p'/p = i/o