n-ésimo natural

(Torneio das Cidades) Prove que n-ésimo natural que não é quadrado perfeito é igual a ⌊n + √n + 1/2⌋

Olá! Antes de tudo quero agradecer por ter compartilhado esse problema, confesso que fiquei alguns dias nele kkkk, já que estou no segundo ano do EM e ainda estou começando a entrar nesse mundo das olimpiadas.

Antes de começar a resolução, temos que ter alguns conhecimentos prévios!

podemos ver que a expressão  ⌊n + √n + 1/2⌋ possui esses "colchetes incompletos" e na verdade eles denotam a função piso!
Essa função relaciona um número real ao maior número inteiro que é menor ou igual a ele, por exemplo:


 ⌊3.14⌋ = 3
 ⌊-2.4⌋ = -3

essa solução foi feita se baseando neste fato: 

se um numero k natural é menor que um número j e maior que seu antecessor, este numero sera escrito na forma: ⌊j⌋, isto é: 


 4,2 < 5 < 5,2 ----> 5 = ⌊5,2⌋ 


Com isso, podemos ir a resolução:



Vamos começar chamando esse n-ésimo numero de an.


Sabendo que an é o n-ésimo numero natural que nao é quadrado perfeito, podemos escrevê-lo em função de 'p' e 'q', de tal forma que \( p^2 \) seja o maior quadrado perfeito menor que an e \( q \) seja o termo necessário para que quando somado a \( p^2 \) resulte em an

Logo: \( an = p^2 + q \)

Agora vamos fazer a análise de quantos quadrados perfeitos existem de 1 ate \( p^2 \):

\( (1, 4, 9, 16, ... , p^2) \) ---> \( (1^2, 2^2, 3^2, ... ,p^2) \)

Então é fácil perceber que existem \( p \) termos quadrados perfeitos de 1 até \( p^2 \) .
Qual foi a minha motivação em fazer isso? ---> perceba que no enunciado a resposta esta em função de n, então precisamos achar uma relação entre an, ou melhor, p e q com n, relação a qual será enunciada a seguir.

Como dito anteriormente o an é o n-ésimo termo, indo além, perceba que an está na posição (an - p) entre os números que NÃO sao quadrados perfeitos, ou seja, an é o (an-p)ésimo termo, logo,

\( an - p = n \) ; mas lembre se que : \( an = p^2 + q \) , com isso:

\( p^2 + q = n + p \) ---> \( p^2 - p = n - q \) , EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU, resolva como quiser, vou resolver completando quadrados: 

\( p^2 - p + 1/4 = n - q + 1/4 \)

\( (p - 1/2)^2 = n - q + 1/4 \)

\( p = \sqrt{n - q + 1/4} + 1/2 \)  Admitremos apenas a solução positiva pois p é natural.

Agora basta fazer uma relação com o dado do enunciado:  ⌊n + √n + 1/2⌋


\( an = p^2 + q = n + p = n + \sqrt{n - q + 1/4} + 1/2 \) 


Observe a expressão \( \sqrt{n - q + 1/4} \) 

\( q \) é um numero natural maior que 1, logo, com certeza: 

\( \sqrt{n - q + 1/4} < \sqrt{n} \) , logo, 

\( an< n + \sqrt{n} + 1/2 \) 

também é facil de perceber que 

\( \sqrt{n - q + 1/4} + 1/2 > \sqrt{n - q + 1/4} - 1/2  \) , isto é: \( \sqrt{n - q + 1/4} + 1/2 > \sqrt{n - q + 1/4} + 1/2 - 1 \)

reunindo os fatos: 

\( \sqrt{n - q + 1/4} + 1/2 - 1 < an < \sqrt{n - q + 1/4} + 1/2 \)

\( \ n + \sqrt{n} + 1/2 - 1 < an < n + \sqrt{n} + 1/2 \)

concluimos que an é menor que um número, e maior que seu antecessor, logo pode ser escrito da forma ⌊n + √n + 1/2⌋, como queríamos demonstrar.