Iezzi 3 volumes ciclo trigonométrico exercício 19

Uma pista de corrida com 7,5 km de extensão tem a forma de uma curva circular fechada. Um ciclista é capaz de fazer o percurso completo em 20 minutos, enquanto um corredor o faz em meia hora. Considere que o ciclista e o corredor partam do mesmo ponto A da pista, no mesmo instante, am- bos mantendo velocidades constantes ao longo de todo o percurso, porém deslocando-se em sentidos contrários. O tempo mínimo necessário, em minutos, para que ambos voltem a se encontrar é igual a:
a) 10
b) 12
c) 13
d) 15

Gabarito: 12

Eu consegui fazer esse dessa forma. Gostaria de saber se tá correto e se tem outros modos de resolver essa questão:

1- velocidade por minuto do ciclista
V1= 7500/20
V1 = 375m/min

2- velocidade por minuto do corredor
V2 = 7500/30
V2 = 250m/min

3- raio da circunferência é dado por
7500 = 2πr
r = 7500/2π

4- eles vão se encontrar no mesmo tempo x e o ângulo formado pelo arco que o corredor vai percorrer é dado por:

x*375/(3750/π) = 375xπ/3750 = xπ/10

5- o ângulo do arco que o corredor vai percorrer é dado por:

x*250/(3750/π) = 250xπ/3750 = xπ/15

6- como eles vão se encontrar no mesmo ponto, se a gente subtrair de 2π o ângulo que o arco do corredor fez a gente vai ter que encontrar o mesmo angulo formado pelo ciclista, então

2π-xπ/15 = xπ/10
60π-2xπ = 3xπ
5xπ = 60π
x = 60π/5π
x = 12

brunoriboli escreveu:Uma pista de corrida com 7,5 km de extensão tem a forma de uma curva circular fechada. Um ciclista é capaz de fazer o percurso completo em 20 minutos, enquanto um corredor o faz em meia hora. Considere que o ciclista e o corredor partam do mesmo ponto A da pista, no mesmo instante, am- bos mantendo velocidades constantes ao longo de  todo o percurso, porém deslocando-se em sentidos contrários. O tempo mínimo necessário, em minutos, para que ambos voltem a se encontrar é igual a:
a) 10
b) 12
c) 13
d) 15

Gabarito: 12

Eu consegui fazer esse dessa forma. Gostaria de saber se tá correto e se tem outros modos de resolver essa questão:

1- velocidade por minuto do ciclista
V1= 7500/20
V1 = 375m/min

2- velocidade por minuto do corredor
V2 = 7500/30
V2 = 250m/min

3- raio da circunferência é dado por
7500 = 2πr
r = 7500/2π

4- eles vão se encontrar no mesmo tempo x e o ângulo formado pelo arco que o corredor vai percorrer é dado por:

x*375/(3750/π) = 375xπ/3750 = xπ/10

5- o ângulo do arco que o corredor vai percorrer é dado por:

x*250/(3750/π) = 250xπ/3750 = xπ/15

6- como eles vão se encontrar no mesmo ponto, se a gente subtrair de 2π o ângulo que o arco do corredor fez a gente vai ter que encontrar o mesmo angulo formado pelo ciclista, então

2π-xπ/15 = xπ/10
60π-2xπ = 3xπ
5xπ = 60π
x = 60π/5π
x = 12

Outro método (pela Física):

No encontro → S_ciclista = S_corredor

Adotando velocidade negativa para simbolizar a velocidade contrária ao do ciclista e considerando o corredor na posição So = 7.500 (final do trajeto, já que parte em trajeto contrário):

So + V_ciclista.t  =  So + V_corredor.t
0 + 375/60.t = 7.500 - 250/60.t
375t/60 + 250t/60 = 7.500
625t/60 = 7.500
625t = 450.000
t = 720s = 12min

Acho que essa questão já tem aqui, mas nem vou procurar.
E também acho que a questão não é de trigonometria, apenas é álgebra.
E a resposta pode ser dada pela fórmula famosa comentada pelo Élcio: