Matrizes e determinantes

Se X, Y são matrizes reais 2 x 2, então:
a) det(X + Y)+ det(X − Y) = det(2X)
b) det(X + Y)− det(X − Y) = det(2Y)
c) det(X + Y)+ det(X − Y) = det(X) +det(Y)
d) det(X + Y)+ det(X − Y) = 2 det(X) +2 det(Y)
e) n. d. a

Gab: d
Alguém sabe se tem um método rápido pra resolver essa?

Você pode usar aquela propriedade da soma em filas:
[latex]det\begin{bmatrix}a+b&x\\c+d&y\end{bmatrix} = det\begin{bmatrix}a&x\\c&y\end{bmatrix} + det\begin{bmatrix}b&x\\d&y\end{bmatrix}[/latex]
Se você fizer isso pra X e Y, det(X+Y) = detX + detY + detx|y + dety|x. Eu nomeei assim porque tem duas matrizes em que a parte esquerda é dos elementos de Y e a direita é dos elementos de X.
Se eu faço o mesmo pra det(X-Y), acabo com detX + det(-Y) + detx|-y + det-y|x. Como são matrizes 2x2, det(X-Y) = detX + detY - detx|y - dety|x. Somando tudo, det(X+Y) + det(X-Y) = 2det(X) + 2det(Y).

Não tem, mas é álgebra simples.

Uma matriz 2x2 tem determinante ad - bc (diagonal principal menos a secundária).

Dê nomes aos elementos das matrizes e desenvolva.