Progressão Geométrica

por Felipe Pereira Sales 16/6/2018, 2:18 pm

Um quadrado tem perímetro 20 cm. Unindo-se os pontos médios dos lados desse quadrado, obtemos um segundo quadrado; unindo-se os pontos médios dos lados desse segundo quadrado, obtemos um terceiro quadrado, e assim por diante, indefinidamente. Determine a soma dos perímetros desses infinitos quadrados.

por **Elcioschin** 16/6/2018, 7:49 pm

p₁ = 20

4.L₁ = 20 ---> L₁ = 5 ---> lado do 1º quadrado

L₂² = (5/2)² + (5/2)² ---> L₂² = 25/2 ---> L₂ = 5.√2/2

p₂ = 4.(5.√2/2) ---> p₂ = 10.√2

Razão da PG dos perímetros: q = 10.√2/20 ---> q = √2/2

S = p₁/(1 - q) ---> S = 20/(1 - √2/2) ---> S = 40/(2 - √2) ---> S = 40.(2 + √2)(4 - 2)

S = 40 + 20.√2

por Felipe Pereira Sales 17/6/2018, 2:58 pm

Elcioschin escreveu:p₁ = 20

4.L₁ = 20 ---> L₁ = 5 ---> lado do 1º quadrado

L₂² = (5/2)² + (5/2)² ---> L₂² = 25/2 ---> L₂ = 5.√2/2

p₂ = 4.(5.√2/2) ---> p₂ = 10.√2

Razão da PG dos perímetros: q = 10.√2/20 ---> q = √2/2

S = p₁/(1 - q) ---> S = 20/(1 - √2/2) ---> S = 40/(2 - √2) ---> S = 40.(2 + √2)(4 - 2)

S = 40 - 20.√2