Fatorial

O algarismo da unidade do resultado de 1! - 2! + 3! - 4! + 5! - ... + 999! é:
(A) 0.
(B) 1.
(C) 2.
(D) 3.
(E) 4.

Gabarito: Letra B.

Comentários: Se possível, gostaria da resolução detalhada.

1 - 1*2 + 1*2*3 - 1*2*3*4 + ... - ... + 1*...*999

Tirando o 1, todos são pares porque são múltiplos de 2.

Subtraindo e somando um ímpar (1) com apenas pares, teremos um número ímpar como resultado.

Pode ser o 1 ou o 3.

A partir do 5, teremos só múltiplos de 5, que terminam em 0.

Vamos analisar do 1! ao 6! e achar um padrão:

1 - 2 + 6 - 24 = -19 (quantidade par de termos: resultado negativo e terminado em 9)
1 - 2 + 6 - 24 + 120 = 101 (quantidade ímpar de termos: resultado positivo e terminado em 1)
1 - 2 + 6 - 24 + 120 - 720= -619 (quantidade par de termos: resultado negativo e terminado em 9)

Podemos terminar em 9 (se o número de termos for par) ou 1 (se o número de termos for ímpar).

Essa alternância entre 1 e 9 é porque eles são complementares entre si (10-1 = 9 e 10-9=1) e porque estamos subtraindo e somando dezenas consecutivamente.

Termina em 1.

Note que, a partir de 5!, todos terminam em zero
Assim basta fazer até 5!

1! - 2! + 3! - 4! + 5! =

1 - 2 + 6 - 24 + 120 = 101 ---> Termina em 1

Elcioschin escreveu:Note que, a partir de 5!, todos terminam em zero
Assim basta fazer até 5!

1! - 2! + 3! - 4! + 5! =

1 - 2 + 6 - 24 + 120 = 101 ---> Termina em 1

Olá, Elcio! Já vi esse raciocínio de terminar em zero em outras questões, mas nunca entendi uma coisa:
Com tantos outros números somando e multiplicando, como eu consigo afirmar que tudo vai terminar em zero? 

Não me entra na cabeça como tantos números com multiplicidades diferentes conseguem terminar em zero depois dessa conta enorme.

Todos os fatoriais a partir de 5! tem os divisores 2 e 5, logo o produto termina em 0:

5.4.3.2.1 ------> _120
6.5.4.3.2.1 ----> _720
7.6.5.4.3.2.1 --> 5040
etc.

Caramba. Bem mais simples do que eu imaginava. Muito obrigado, Elcio!