Análise Combinatória

Em uma certa loja, é oferecida aos clientes a experiência de jogar partidas de videogame, uns contra os outros, a fim de que eles experimentem diversos jogos antes de comprá-los. Há quatro gêneros disponíveis para essas partidas, são eles: combate, terror, corrida e puzzle. Uma dupla de amigos pretende jogar 7 partidas de jogos entre os gêneros disponíveis, independentemente da ordem e do jogo.
De quantas maneiras a dupla de amigos pode jogar as partidas por gênero, sem considerar a ordem em que são jogadas?
gabarito: 10! / 7!3!

não entendi a explicação do gabarito deles, e nem essa parte das bolinhas. E por quê não pode ser 7! / 3!4! ?
obrigada

Nessa questão, não importam ordem nem jogos, somente os gêneros. Seu eu vou jogar 7 jogos e há 4 gêneros disponíveis, sei que a soma das quantidades por gênero dá 7, isto é, digamos que eu jogue C de combate, T de terror, K de corrida e P de puzzle. Deve acontecer C + T + K + P = 7. Vou resumir um pouco o que acontece a partir daqui, mas se você precisar de uma discussão mais minuciosa, procure por solução inteiras não negativas.
Essa equação C + T + K + P = 7 é muito interessante, porque eu posso muito bem não jogar um dos gêneros (por exemplo, jogar sete de puzzle), mas com certeza não posso jogar mais de 7, ou um número negativo ou não inteiro de jogos. Significa que existe um número finito de soluções pra isso. Algumas delas abaixo:
1 + 1 + 3 + 2 = 7
0 + 5 + 1 + 1 = 7
2 + 2 + 2 + 1 = 7

Vamos mudar um pouco essa visualização. Em vez de +, tenha uma barra. Em vez de unidades, escrevamos ・:
・ | ・ | ・・・ | ・・ = ・・・・・・・
 | ・・・・・ | ・ | ・ = ・・・・・・・
・・ | ・・ | ・・ | ・ = ・・・・・・・

Nota como cada solução é simplesmente uma sequência de bolinhas e barrinhas. Essa é uma ideia muito forte, porque eu consigo de um diagrama ・ | ・・・・ | ・・ | chegar à solução 1 + 4 + 2 + 0 = 7, tenho nisso uma bijeção. E consigo, claro, todas as soluções [com inteiros não negativos] dessa forma, basta que haja três barrinhas | (representando os 3 +) e sete bolinhas ・ (representando as 7 unidades).
Ora, se cada sequência representa uma única solução, o total de sequências é o total de soluções, então procuramos o número de permutações desses elementos. São 10: 3 | e 7 ・. Da permutação com repetição, S = 10!/3!7!.