Anagrama

Assinale a alternativa que apresenta a quantidade de anagramas da palavra MEDO que têm todas as suas letras em posições diferentes das originais. 


a) 6

b) 9

c) 12

d) 18

e) 24


Obs: não postei o gabarito porque a banca examinadora não publicou ainda.

Desde já, agradeço.

Trata-se de uma questão de permutação caótica. Podemos resolver isso com:

\[ D_{n}=n!*(\frac{1}{0!}-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+...+\frac{(-1)^n}{n!})\]

Para n = 4, temos que:

\[ D_{4}=4!*(\frac{1}{0!}-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!})\]

\[ D_{4}=4!*(1-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+\frac{1}{24})\]

\[ D_{4}=24*(\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+\frac{1}{24})\]

\[ D_{4}=24*\frac{1}{2}-24*\frac{1}{6}+24*\frac{1}{24}\to D_{4}=12-4+1=9\]

gabarito letra b.

Outra forma de resolver permutações caóticas é pela fórmula

\[ D_{n}\approx\frac{n!}{e}\textup{,sendo e a constante de Euler}\]

\[ D_{4}\approx\frac{24}{e}\approx\frac{24}{2,7}\approx 8,88...\approx 9\]

Eis as 9 soluções:

DMOE - DOEM - DOME
EDOM - EMOD - EOMD
ODEM - ODME - OMED