Udesc - Análise Combinatória

As frutas são alimentos que não podem faltar na nossa alimentação, pelas suas vitaminas e pela energia que nos fornecem. Vera consultou um nutricionista que lhe sugeriu uma dieta que incluísse a ingestão de três frutas diariamente, dentre as seguintes opções: abacaxi, banana, caqui, laranja, maçã, pera e uva. Suponha que Vera siga rigorosamente a sugestão do nutricionista, ingerindo três frutas por dia, sendo pelo menos duas diferentes. Então, ela pode montar sua dieta diária, com as opções diferentes de frutas recomendadas, de:

A) 57 maneiras.
B) 50 maneiras.
C) 56 maneiras.
D) 77 maneiras.
E) 98 maneiras.

Spoiler:

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Gente, nessa questão eu estava fazendo assim:
C7,3=35
Até aí tudo bem. Fiz a combinação para descobrir as opções de combinação de 3 frutas diferentes.
Daí, aqui que estou com muuuuuita dificuldade!
Quando diz que "ingerindo três frutas por dia, sendo pelo menos duas diferentes", eu pensei então, 2 são diferentes. Logo, 1 fruta está se repetindo. Então, 7-1=6
Só que para mim, eu faria uma combinação disso: C6,2=15
Daí, daria a letra B.
Por favor, por favor, alguém poderia me explicar o porquê isso tá errado?? Eu não estou entendendo a lógica de dar 77!  
Agradeço muitíssimo!

"Pelo menos" é sempre bem importante em questões de probabilidade, analise combinatória etc. Temos então que podem ser contabilizadas as combinações em que há três frutas distintas e também as em que há duas frutas distintas.

Para escolher 3 frutas diferentes dentre 7, temos 35 maneiras.

Para escolher 3 frutas, sendo duas iguais (ou duas distintas, tanto faz), temos o dobro de uma combinação de 7 em 2, resultando em 42. Combinação de 7 em 2 porque queremos escolher duas frutas distintas dentre 7. E o dobro pode ser ilustrado pela ideia abaixo:

ABB e BAA são duas maneiras diferentes mas na combinação de 7 em 2 é feito o descarte desse fato, já que a combinação de 7 em 2 leva em conta que AB e BA são iguais.

Se o raciocínio acima parece confuso, basta pensar que temos 7*6 = 42 possibilidades para duas frutas distintas.

35 + 42 = 77

Puxa, Pedro!  
Que coisa confusa ou a minha cabeça mesmo que não está acostumada!

Mas viu, eu estou tendo dificuldades em entender essa parte aqui:
"ABB e BAA são duas maneiras diferentes mas na combinação de 7 em 2 é feito o descarte desse fato, já que a combinação de 7 em 2 leva em conta que AB e BA são iguais."

É mais fácil utilizar o princípio fundamental da contagem (7*6 = 42). Mas vou tentar explicar melhor o raciocínio sobre o que você questionou.

Para considerar duas frutas distintas podemos resumir ao seguinte:

AB
AC
AD
AE
AF
AG
BC
BD
BE
...
FG

= 21 possibilidades

Isso é o equivalente a uma combinação de 7 em 2.

Porém, AB pode ser tanto AAB ou ABB, assim como CD pode ser CCD e CDD, e assim por diante. Comer duas bananas e uma maçã é diferente de comer uma banana e duas maçãs. Note que temos o dobro de 21 possibilidades.

Ahhhhh, sim! Toda vez que eu escolho duas frutas, haverá no caso duas possibilidades, então? 
Realmente, como tu disses: "Comer duas bananas e uma maça é diferente de comer uma banana e duas maçãs."
Logo, se escolhe, sei lá, 
Banana Maçã Banana
Pode haver a possibilidade de ter Banana Maçã Maçã
Agora entendi! 
Mas Pedro, eu estava dando uma olhada que dá para utilizar a combinação por repetição. Seria mais viável?

Como o Pedro explicou antes, se todas forem diferentes temos a combinação C(7, 3) = 35

Se uma for repetida, teremos A(7, 2) = 42

35 + 42 = 77

Liss Collins escreveu:Mas Pedro, eu estava dando uma olhada que dá para utilizar a combinação por repetição. Seria mais viável?

Eu desconhecia essa fórmula: Cr(m,p)=C(m+p-1,p), extraída do site da Sercomtel, que dá a seguinte explicação: "Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo até p vezes."

Cr(7,3) = C(9,3) = 9!/(3!.6!) = 84

Essa fórmula basicamente exclui as combinações iguais entre si, por exemplo, exclui ACB por causa de ABC; exclui BBA por causa de ABB, mas ainda permite repetições de um mesmo item.

Porém temos que remover 7 combinações que não são permitidas, a saber: AAA, BBB, CCC, DDD, EEE, FFF, GGG

Muito bacana! Acho que só com prática e muitos erros (acho que faz parte do processo) compreenderei mais análise combinatória. Pois, para mim é uma grande dificuldade. 
Gente, muito obrigada pela ajuda e paciência.  Obrigada, Pedro e Elcioschin.
Vocês foram fantásticos!

Liss Collins escreveu:Muito bacana! Acho que só com prática e muitos erros (acho que faz parte do processo) compreenderei mais análise combinatória. Pois, para mim é uma grande dificuldade. 
Gente, muito obrigada pela ajuda e paciência.  Obrigada, Pedro e Elcioschin.
Vocês foram fantásticos!

Pra ser sincero, é uma das partes da matemática que acho mais complicadas. E acho que é assim mesmo: prática e erros.

PedroX escreveu:

Liss Collins escreveu:Mas Pedro, eu estava dando uma olhada que dá para utilizar a combinação por repetição. Seria mais viável?

Eu desconhecia essa fórmula: Cr(m,p)=C(m+p-1,p), extraída do site da Sercomtel, que dá a seguinte explicação: "Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo até p vezes."

Cr(7,3) = C(9,3) = 9!/(3!.6!) = 84

Essa fórmula basicamente exclui as combinações iguais entre si, por exemplo, exclui ACB por causa de ABC; exclui BBA por causa de ABB, mas ainda permite repetições de um mesmo item.

Porém temos que remover 7 combinações que não são permitidas, a saber: AAA, BBB, CCC, DDD, EEE, FFF, GGG

Por que no resultado final ocorre a soma das combinações e não a multiplicação?