Polinômio/resto

Com base no gráfico da função polinomial y = f(x) esboçado abaixo, responda qual é o resto da divisão de f(x) por 

Spoiler:

Eu poderia  substituir o par ordenado (1/2, 1/ na equação polinomial fatorada;  ;  achar o valor de a e, por fim,  a equação polinomial completa...?! Depois,  pelo Teorema do Resto, poderia calcular os restos individuais substituindo 1/2 e 1 na equação polinomial e o resto final seria o produto ou a soma dos restos encontrados...?!

Ao fazer isso, encontrei restos individuais -5/16 e -4/16, cujo produto é -5/64 e cuja soma é -9/16... Acho que o caminho não é bem esse, não é...?!

Existem 5 raízes

Raiz dupla x = - 1/2 e x = - 1/2
Raiz simples x = 0 ---> f(x) não tem termo independente de x
Raiz dupla x = 1 e x = 1

f(x) = a.x⁵ + b.x⁴ + c.x³ + d.x² + e.x

Para cada raiz f(x) = 0 ---> f(-1/2) = f(0) = f(1) = 0

Para x = 1/2 ---> f(1/2) = 1/8

Complete

Elcioschin, você está dizendo que, em todas as vezes que o gráfico tangencia o eixo X, a raíz é dupla...?!

Um exemplo simples para uma função do 2º grau, que tem 2 raízes:

y = x² - 2.x + 1 

∆ = (-2)² - 4.1.1 ---> ∆ = 0 ---> O gráfico tangencia o eixo x, no ponto (1, 0)

O mesmo acontece para polinômios de graus superiores: quando o gráfico tangencia o eixo x, acima ou abaixo dele, existe uma raiz dupla.

Quando o gráfico tangencia o eixo tendo uma parte acima e outra parte abaixo do eixo x, a raiz, pode ser tripla, quádrupla, etc.

Exemplos y = x³ ---> raiz tripla em (0, 0)