Polinômio e resto

por Gabriel Rodrigues Seg 07 Out 2013, 09:45

Um polinômio f, dividido por x+2 e x²+4, dá restos 0 e x+1, respectivamente. Qual é o resto da divisão de f por (x+2) (x²+4) ?

Resp.: x²/8 + x + 3/2

por JuniorE Seg 07 Out 2013, 11:45

f(x)=q1.(x+2)+0 (I)
f(x)=q2(x²+4)+(x+1) (II)

f(x)=q3(x+2)(x²+4)+R(x) (III)

Esse R(x) tem a forma ax²+bx+c, pois o divisor é de grau 3.

Veja em (I) que f(-2)=0, logo, em (III):

f(-2)=R(-2)
R(-2)=0
4a-2b+c=0 (IV)

Reescrevendo (II) na forma fatorada:

f(x)=q2(x-2i)(x+2i)+(x+1)

Fazendo o mesmo raciocínio que fizemos antes:

f(2i)=(2i+1) ---> (2i+1)=a(2i)²+b(2i)+c ---> -4a+2bi-2i-1+c=0 (V)
f(-2i)=(-2i+1) ---> -2i+1=a(-2i)²+b(-2i)+c---> -4a-2bi+2i-1+c=0

Somando as duas últimas:

-8a-2+2c=0
c=4a+1

De (IV):

4a-2b+4a+1=0
b=4a+1/2

Substituindo b e c em V:

-4a+2i(b-1)-1+c=0
-4a+2i(4a-1/2)-1+4a+1=0
8ai-i=0
i(8a-1)=0
a=1/8<<

b=1/2+1/2=1 <<

c=1/2+1=3/2<<

Logo: R(x)=x²/8+x+3/2

abraços.

Polinômio e resto

Polinômio e resto

Re: Polinômio e resto

Um fórum livre e democrático.