FUVEST -

(FUVEST) Em uma classe de 9 alunos, todos se dão bem, com exceção de Andréia, que vive
brigando com Manoel e Alberto. Nessa classe, será constituída uma comissão de cinco alunos, com a exigência de que cada membro se relacione bem com todos os outros. Quantas comissões podem ser formadas?

RESPOSTA: 71

Minha tentativa de resolvê-la:

Número total de probabilidades: C9,5 = 126
Número de probabilidades onde os três aparecem juntos: C6,2 =15
Número de probabilidades onde aparecem Andréia e Alberto juntos: C7,3 = 35
Número de probabilidades onde aparecem Andréia e Manoel juntos: C7,3 = 35
Minha resposta final: Número total de probabilidades - Número total de probabilidades onde aparecem os 3 juntos, ou 2, sendo 1 Andréia ==> 126 - 85 = 41

No quê erro? Grato pela atenção e por sua ajuda!

"Número de probabilidades onde aparecem Andréia e Alberto juntos: C7,3 = 35
Número de probabilidades onde aparecem Andréia e Manoel juntos: C7,3 = 35"


Perceba que quando você calcula essas possibilidades acima você está incluindo em cada um dos dois casos a possibilidade dos 3 estarem juntos. Assim, essa possibilidade dos 3 estarem juntos estão sendo contados duas vezes.

Portanto deve ser descontado essa quantidade que você calculou no passo a seguir:

"Número de probabilidades onde os três aparecem juntos: C6,2 =15"


Dessa forma, o número de possibilidades que os 3 ou pelo menos a Andréia com um dos inimigos será:


35 + 35 - 15 = 55

Logo, a quantidade de comissões que podem ser formadas será:

126 - 55 = 71

Comissão com Andreia: C(6,4)
Comissão sem Andreia: C(8,5)

Total de possibilidades: C(6,4) + C(8,5) = 71

Seu erro é que ao contar o número de comissões em que Andreia e Alberto ou Andreia e Manoel aparecem juntos, você acabou contando também a comissão em que os 3 aparecem juntos (uma vez em cada contagem, totalizando duas vezes), logo você deve somar duas vezes o número de formas em que os 3 aparecem juntos (2.15) no seu resultado, obtendo a resposta esperada.

Muito obrigado pela ajuda! Finalmente, graças a vocês compreendi!

Enviado pelo Topic'it