Equação quadrática

por FlavioMachado Qui 29 Mar 2018, 20:27

Se a equação quadrática ax²+bx+c=0, a diferente de zero de CS=(x1;x2), define-se Sn=x1^n + x2^n. calcule o valor de aS10 + bS9 + cS8.
a)a²+b²+c²
a+b+c
c)a^10+b^9+c^8+
d)0
e)1

por Golincon Sáb 31 Mar 2018, 22:01

Esse é um teorema famoso. Considere um polinômio qualquer:

P(x) = a_{n}x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_{1}x + a_{0}

De raízes a, b, c...

Assim:

0 = a_{n}a^n + a_{n-1}a^{n-1} + ... + a_{1}a + a_{0}
0 = a_{n}b^n + a_{n-1}b^{n-1} + ... + a_{1}b + a_{0}
0 = a_{n}c^n + a_{n-1}c^{n-1} + ... + a_{1}c + a_{0}
...

Multiplique cada equação pela raiz respectiva elevada a (k - n), sendo, sendo k maior ou igual a n.

0 = a_{n}a^k + a_{n-1}a^{k-1} + ... + a_{1}a^{k+1-n} + a_{0}a^{k-n}
0 = a_{n}b^k + a_{n-1}b^{k-1} + ... + a_{1}b^{k+1-n} + a_{0}b^{k-n}
0 = a_{n}c^k + a_{n-1}c^{k-1} + ... + a_{1}c^{k+1-n} + a_{0}c^{k-n}
...

Some todas as equações.

0 = a_{n}(a^k+b^k+...) + a_{n-1}(a^{k-1}+b^{k-1}+...) + ... + a_{1}(a^{k+1-n}+b^{k+1-n}+...) + a_{0}(a^{k-n}+b^{k-n}+...)

Defina S_{x} = a^x + b^x + c^x + ...

\Rightarrow \boxed{a_{n}S_k + a_{n-1}S_{k-1} + ... + a_{1}S_{k+1-n} + a_{0}S_{k-n} = 0}

Perceba que é exatamente o caso do seu problema. Logo, a resposta é zero. Very Happy

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