(AFA-2004) Função Quadrática

por Victor Luz Sáb 06 Jan 2018, 13:54

Seja f(x)=ax²+bx+c (a≠0) uma função real definida para todo número real. Sabendo-se que existem dois números x1 e x2, distindos, tais que f(x1).f(x2)<0, pode-se afirmar que:
a)f passa necessariamente por um máximo
b)f passa necessariamente por um mínimo
c)x1.x2 é necessariamente negativo
d)b²-4ac>0

Gabarito : D

por **Lucas Pedrosa.** Sáb 06 Jan 2018, 14:05

f(x1).f(x2)<0 -> a função tem imagem negativa e positiva

"c" é a intersecção de f(x) com o eixo das ordenadas.

se "a" for positivo a concavidade é para cima, mas como f(x1).f(x2) < 0, c intercepta o eixo y abaixo de zero -> c<0

b² - 4ac > 0, pois c é negativo.

Se fizer f(x) com "a" negativo, acontecerá que "c" será positivo, e acontece a mesma coisa.

por biologiaéchato Sex 16 Fev 2018, 10:52

Como posso provar que o item (c) está incorreto?

por **Lucas Pedrosa.** Sex 16 Fev 2018, 11:08

Duduu2525 escreveu:Como posso provar que o item (c) está incorreto?

x1.x2 não é necessariamente negativo.

por biologiaéchato Sex 16 Fev 2018, 11:51

É verdade, existem infinitas possibilidades para essa tal função(o enunciado foi bem amplo), e não há nada que indica ou restringe uma tal abscissa(eixo x), por isso, qualquer valor de x se enquadra no que o enunciado diz.

A única coisa que o enunciado afirma, é que o gráfico dessa função corta o eixo x, por isso, tem-se b²-4ac>0(∆>0).

Obrigado pela ajuda, Lucas!
Um abraço.

por **Lucas Pedrosa.** Sex 16 Fev 2018, 12:02

Isso mesmo. No exemplo da imagem eu usei a>0 (possui mínimo), mas nem isso eu posso afirmar, sendo que para a<0 (possui máximo) segue-se a mesma ideia. A única coisa que se pode afirmar é que b²-4ac>0. Grande abraço!

por **Willian Honorio** Sex 16 Fev 2018, 12:06

Uma outra solução, Teorema de Bolzano:

[x1,x2] ∈ Dom(f)
f(x1).f(x2)<0 ----> há um número ímpar de raízes no intervalo ]x1,x2[;
f(x1).f(x2) > 0 ----> há um número par de raízes no intervalo ]x1,x2[ ,
f(x1).f(x2)=0 ----> implica que x1 ou x2 são raízes de f(x)

Sendo f(x) uma função de segundo grau, o teorema afirma, com toda a certeza, que delta é maior do que zero.