Encontre todos os quadrados perfeitos

Para quais valores de k inteiros, k^2 + 25k + 19 é um quadrado perfeito ?

k² + 25.k + 19 = 0

Basta fazer ∆ = 0 (duas raízes iguais)

Obrigado mestre pela resposta !

Na verdade se você tiver delta igual a 0, k não será inteiro e a expressão não será um quadrado perfeito

Lembro que tinham pelo menos 4 soluções, estou a procura do gabarito para adicionar ao post

Será sim

(x - √3)², por exemplo, é um quadrado perfeito e √3 não é inteiro.

Soluções


k = 125, - 150, 34, - 59, 5 e - 30

No seu exemplo teríamos um trinomio do quadrado perfeito, mas queremos que a expressão seja um quadrado perfeito


Ex. 1, 4, 9, ..

Desculpe-me, eu interpretei errado. Devemos ter: k² + 25.k + 19 = x²

Vamos formar, no 1º membro, quadrados perfeitos.
Para isto o coeficiente de k deverá ser par,pois (a + b)² = a² + 2.a.b + b² ---> 2.a é par

1) k² + 24.k + 144 - 144 + k + 19 = x² ---> (k + 12)² - 125 + k = x² ---> Para k = 125 ---> (125 + 12)² =  x²

2) k² + 22.k + 121 - 121 + 3.k + 19 = x² ---> (k + 11)² - 102 + 3.k = x² --> Não serve: k = 102/3

3) k² + 20.k + 100 - 100 + 5.k + 19 = x² ---> (k + 10)² - 81 + 5.k = x² ---> Não serve: k = 81/5

4) k² + 18.k + 81 - 81 + 7.k + 19 = x² ---> (k + 9)² - 62 + 7.k = x² ---> Não serve: k = 62/7

5) k² + 16.k + 64 - 64 + 9.k + 19 = x² ---> (k + 8 )² - 45 + 9.k = x² ---> k = 5

E assim por diante. O que você acha agora?

Obrigado mestre ! Ótima visão !

Encontrei um caminho interessante também, utilizando a discriminante.

Se a discriminante é um quadrado perfeito impar, então k passa a ser inteiro. Depois é só fatoração

Então mostre o passo-a-passo da sua solução meu caro! Vai ser importante para outros usuários aprenderem.

Vamos lá !

Queremos valores de k inteiros tais que 

k^2 + 25k + 19 = t^2 

t inteiro 

k = (- 25 +/- (25^2 - 4 . (19 - t^2))^(1/2))/2

Chame a raiz de delta de D

k = (- 25 +/- D)/2

Como k é inteiro, então 2 divide - 25 +/- D, portanto D é ímpar 

Então D deve ser inteiro

D^2 = 25^2 - 4 . (19 - t^2)

D^2 - 4t^2 = 625 - 76

(D - 2t)(D +2t) = 549

Então temos que (D -2t) e (D + 2t) são divisores de 549

Então temos as seguintes possibilidades 

549 = 3^2 . 61

D + 2t = 549
D - 2t = 1

D + 2t = 61
D - 2t = 9

D + 2t = 183
D - 2t = 3

Todos os valores encontrados para D são ímpares, então todos darão uma solução para k

Então basta resolver o sistema e encontrar todos os valores de k