OBMEP

Começando com o intervalo fechado da reta 
[ltr][0,1][/ltr]
, retiramos seu terço médio aberto 
[ltr](13,23)[/ltr]
, restando os intervalos fechados 
[ltr][0,13][/ltr]
 e 
[ltr][23,1][/ltr]
. Repetimos agora essa operação com cada um desses intervalos que restaram, e assim por diante. Seja 
[ltr]Sn[/ltr]
 a soma dos comprimentos dos intervalos que foram retirados depois de 
[ltr]n[/ltr]
 dessas operações.


[list=bb-list-ordered,bb-list-ordered-d]
[*]Mostre que 
[ltr]Sn=1−(23)n[/ltr]



.


[*]Calcule o valor para o qual 
[ltr]Sn[/ltr]



 se aproxima quando 
[ltr]n[/ltr]



 cresce indefinidamente.


[*]O conjunto dos pontos não retirados é vazio? Justifique.


[/list]

MEU LATEX NÃO ESTÁ INDO BOM

1) Para encontrarmos uma relação de progressão, podemos descrever os próximos terços médios retirados e teremos:
1° etapa: (1/9; 2/9) ; (7/9; 8/9)
2°etapa: (1/27 ; 2/27) ; (7/ 27; 8/27) ; (19/27; 20/27) ; (25/27;26/27)
Agora, para encontrarmos a progressão devemos obter a soma dos comprimentos de cada terço de cada etapa:
1° etapa: 1/9 + 1/0 = 2/9
2°etapa: 1/27 + 1/27 + 1/27 + 1/27 = 4/27
Somente com esses dois primeiros termos podemos perceber que toda a preogressão se dará multiplicando o termo atual por 2/3. Isso sempre nos dará a soma dos comprimentos dos terços da próxima etapa.Com isso, temos uma progressão geométrica infinita de razão 2/3 e a1 1/3.
E como em toda P.G, podemos calcular a soma dos n termos após n operações através da fórmula:
Sn = [tex]\dfrac{a1( q^n - 1)}{q - 1}[/tex]

Sn = [tex]\dfrac{[\dfrac{1}{3}( \dfrac{2}{3}^n - 1)]}{ \dfrac{2}{3}- 1}[/tex]

Sn = [tex]\dfrac{[\dfrac{1}{3}( \dfrac{2}{3}^n - 1)]}{ - \dfrac{1}{3}}[/tex]

Sn = - ( [tex] \dfrac{2}{3}^n - 1[/tex])

Sn = 1 - ([tex]\dfrac{2}{3})^n[/tex]

2) O valor para o qual Sn se aproxima quando n cresce indefinidamente é justamente a soma dos termos de uma P.G infinita, que podemos calcular através da fórmula:
Sn = [tex]\dfrac{a1}{1- q}[/tex]

Sn = [tex]\dfrac{ \dfrac{1}{3}}{1 -\dfrac{2}{3} }[/tex]

Sn = [tex]\dfrac{\dfrac{1}{3}}{- \dfrac{1}{3}}[/tex]
Sn = - 1
Foi essa a minha resposta no pic não vai copiar hein.