Qual a taxa?

por Luiz 2017 Sáb 17 Jun 2017, 18:05

Uma pessoa compra um automóvel por R$ 50.000,00 em iguais prestações mensais no valor de R$ 1.500,00 cada. Imediatamente após pagar a sua 30ª prestação, verificou que o seu saldo devedor era de R$ 32.812,70. Qual a taxa mensal de juros cobrada pela empresa financeira?

por Faxineiro do ITA Sáb 17 Jun 2017, 18:44

Luiz 2017 escreveu:
Uma pessoa compra um automóvel por R$ 50.000,00 em iguais prestações mensais no valor de R$ 1.500,00 cada. Imediatamente após pagar a sua 30ª prestação, verificou que o seu saldo devedor era de R$ 32.812,70. Qual a taxa mensal de juros cobrada pela empresa financeira?

i)32.812,70 = 50.000(1+i)^30 - 1500.30

por Luiz 2017 Sáb 17 Jun 2017, 19:44

Faxineiro do ITA escreveu:
Luiz 2017 escreveu:
Uma pessoa compra um automóvel por R$ 50.000,00 em iguais prestações mensais no valor de R$ 1.500,00 cada. Imediatamente após pagar a sua 30ª prestação, verificou que o seu saldo devedor era de R$ 32.812,70. Qual a taxa mensal de juros cobrada pela empresa financeira?

i)32.812,70 = 50.000(1+i)^30 - 1500.30

Tá brincando!!

por **jota-r** Seg 19 Jun 2017, 17:19

Luiz 2017 escreveu:
Uma pessoa compra um automóvel por R$ 50.000,00 em iguais prestações mensais no valor de R$ 1.500,00 cada. Imediatamente após pagar a sua 30ª prestação, verificou que o seu saldo devedor era de R$ 32.812,70. Qual a taxa mensal de juros cobrada pela empresa financeira?

Olá.

Este, só com aplicativo, tabela financeira ou fórmula alternativa como, por exemplo, Baily-Lenzi , fazendo n= 30, R = 1500 e P = 50000.

Se conhecer outra forma de resolução, mostre-nos.

Um abraço.

por Luiz 2017 Seg 19 Jun 2017, 17:33

jota-r escreveu:
Olá.

Este, só com aplicativo, tabela financeira ou fórmula alternativa como, por exemplo, Baily-Lenzi , fazendo n= 30, R = 1500 e P = 50000.

Se conhecer outra forma de resolução, mostre-nos.

Um abraço.

jota-r

Use as ferramentas que você tiver à sua disposição. Mas adianto que é resolução convencional.

por **jota-r** Seg 19 Jun 2017, 17:38

Luiz 2017 escreveu:
jota-r escreveu:
Olá.

Este, só com aplicativo, tabela financeira ou fórmula alternativa como, por exemplo, Baily-Lenzi , fazendo n= 30, R = 1500 e P = 50000.

Se conhecer outra forma de resolução, mostre-nos.

Um abraço.

jota-r

Use as ferramentas que você tiver à sua disposição. Mas adianto que é resolução convencional.

Não, este, deixo para o amigo resolver (preferencialmente, de forma convencional).

Um abraço

por Luiz 2017 Seg 19 Jun 2017, 18:05

jota-r escreveu:
Não, este, deixo para o amigo resolver (preferencialmente, de forma convencional).

Um abraço

Aplique a fórmula do saldo.

Sds.

por **jota-r** Seg 19 Jun 2017, 18:13

Luiz 2017 escreveu:
jota-r escreveu:
Não, este, deixo para o amigo resolver (preferencialmente, de forma convencional).

Um abraço

Aplique a fórmula do saldo.

Sds.

Aplique você.

Abs.

por Luiz 2017 Seg 19 Jun 2017, 19:40

Luiz 2017 escreveu:
Uma pessoa compra um automóvel por R$ 50.000,00 em iguais prestações mensais no valor de R$ 1.500,00 cada. Imediatamente após pagar a sua 30ª prestação, verificou que o seu saldo devedor era de R$ 32.812,70. Qual a taxa mensal de juros cobrada pela empresa financeira?

Solução:

Por definição o saldo devedor de um financiamento, num determinado instante "n", é igual ao valor do financiamento no instante "n", subtraído do montante dos pagamentos realizados até o mesmo instante "n".

Traduzindo esta definição numa expressão matemática:

S_{n} = PV \cdot (1+i)^n - PMT \cdot \frac {(1+i)^n - 1} {i}

Esta é a equação geral para o cálculo da taxa em função de n, S_n, PV e PMT. Note que não há como explicitar a variável "i". Também não consta que haja qualquer fórmula alternativa prática, tipo Baily-Lenzi, para cálculo da taxa neste caso. Mas, multiplicando ambos os membros por "i" tem-se:

S_{n} \cdot i = PV \cdot (1+i)^{n} \cdot i - PMT \cdot [(1+i)^n - 1]

Fazendo x=1+i{:}

S_{n} \cdot (x-1) = PV \cdot x^{n} \cdot (x-1) - PMT \cdot (x^n - 1)

S_{n} \cdot x - S_{n} = PV \cdot x^{n+1} - PV \cdot x^{n} - PMT \cdot x^{n} + PMT

\boxed{ PV \cdot x^{n+1} - (PV+PMT) \cdot x^{n} - S_{n} \cdot x + (PMT + S_{n}) = 0 }

Esta é a mesma equação em sua forma polinomial.

Dados:

PV = 50.000,00
PMT = 1.500,00
n = 30
S₃₀ = 32.812,70
i = ?

Substituindo valores:

50000 \cdot x^{30+1} - (50000+1500) \cdot x^{30} - 32812,70 \cdot x + (1500 + 32812,32) = 0

50000 \cdot x^{31} - 51500 \cdot x^{30} - 32812,70 \cdot x + 34312,32 = 0

Note que trata-se de uma equação polinomial do 31º grau. Portanto não dá para resolver pelos métodos aproximativos de Baily, Lenzi, Karpin.

Há 3 maneiras de resolver esta equação:

1) Método iterativo como o de Newton;
2) Wolfram-Alpha ou Symbolab; e
3) Calculadora científica que tenha a tecla "solve".

Calculando pelo Wolfram que está ao alcance de todos:

x = 1,02177

Como x = 1 + i, tem-se que:

i = 1,02177 - 1

Resposta: i = 2,177% a.m.

Calculando também pelo método de Newton:

x(0) = .1000000000000000
x(1) = 1.028551459312439
x(2) = 1.023545742034912
x(3) = 1.021939635276794
x(4) = 1.021769165992737
x(5) = 1.021767020225525

x = 1,21767020225525 (valor exato até a 5ª casa decimal)

Como x = 1 + i, tem-se que:

i = 1,02177 - 1

Resposta igual: i = 2,177% a.m.