Qual a taxa?

Faxineiro do ITA escreveu:Você é o bixão mesmo, pergunta e responde.

Luiz 2017 escreveu:

Luiz 2017 escreveu:
Uma pessoa compra um automóvel por R$ 50.000,00 em iguais prestações mensais no valor de R$ 1.500,00 cada. Imediatamente após pagar a sua 30ª prestação, verificou que o seu saldo devedor era de R$ 32.812,70. Qual a taxa mensal de juros cobrada pela empresa financeira?

Solução:

Por definição o saldo devedor de um financiamento, num determinado instante "n", é igual ao valor do financiamento no instante "n", subtraído do montante dos pagamentos realizados até o mesmo instante "n".

Traduzindo esta definição numa expressão matemática:

S_{n} = PV \cdot (1+i)^n - PMT \cdot \frac {(1+i)^n - 1} {i}

Esta é a equação geral para o cálculo da taxa em função de n, S_n, PV e PMT. Note que não há como explicitar a variável "i". Também não consta que haja qualquer fórmula alternativa prática, tipo Baily-Lenzi, para cálculo da taxa neste caso. Mas, multiplicando ambos os membros por "i" tem-se:

S_{n} \cdot i = PV \cdot (1+i)^{n} \cdot i - PMT \cdot  [(1+i)^n - 1]

Fazendo x=1+i{:}

S_{n} \cdot (x-1) = PV \cdot x^{n} \cdot (x-1) - PMT \cdot  (x^n - 1)

S_{n} \cdot x - S_{n} = PV \cdot x^{n+1} - PV \cdot x^{n} - PMT \cdot  x^{n} + PMT

\boxed{ PV \cdot x^{n+1} - (PV+PMT) \cdot x^{n} - S_{n} \cdot x + (PMT + S_{n}) = 0 }

Esta é a mesma equação em sua forma polinomial.

Dados:

PV = 50.000,00
PMT = 1.500,00
n = 30
S₃₀ = 32.812,70
i = ?

Substituindo valores:

50000 \cdot x^{30+1} - (50000+1500) \cdot x^{30} - 32812,70 \cdot x + (1500 + 32812,32) = 0

50000 \cdot x^{31} - 51500 \cdot x^{30} - 32812,70 \cdot x + 34312,32 = 0

Note que trata-se de uma equação polinomial do 31º grau. Portanto não dá para resolver pelos métodos aproximativos de Baily, Lenzi, Karpin.

Há 3 maneiras de resolver esta equação:

1) Método iterativo como o de Newton;
2) Wolfram-Alpha ou Symbolab; e
3) Calculadora científica que tenha a tecla "solve".

Calculando pelo Wolfram que está ao alcance de todos:

x = 1,02177

Como x = 1 + i, tem-se que:

i = 1,02177 - 1

Resposta: i = 2,177% a.m.

Calculando também pelo método de Newton:

x(0) =  .1000000000000000
x(1) =  1.028551459312439
x(2) =  1.023545742034912
x(3) =  1.021939635276794
x(4) =  1.021769165992737
x(5) =  1.021767020225525

x =  1,21767020225525 (valor exato até a 5ª casa decimal)

Como x = 1 + i, tem-se que:

i = 1,02177 - 1

Resposta igual: i = 2,177% a.m.

jota-r escreveu:
Olá.

1º) Você afirmou: "Use as ferramentas que você tiver à sua disposição. Mas adianto que é resolução convencional".

E o que apresentou? Duas resoluções, sem que nenhuma delas seja convencional. 

2º) Também disse que fórmulas aproximativas, como Baily-Lenzi, Karpin etc. não se prestam à resolução do problema. Realmente, 
para este monstrengo de fórmula que você produziu, de fato não dá. Mas, com a utilização dos dados que sugeri, dá. Veja:   
Resolução pelo método de Baily-Lenzi:

i = h{[12-(n-1)h]/[12 - 2(n-1)h], onde:

h = (nR/P)^2/(n+1) - 1---->h = (30*1500/50000)^2/(30+1)---->h = 0,0261290


i = 0,0261290*{[12-(30-1)*0,0261290]/[12 - 2*(30-1)*0,0261290]}
----->
i = 0,0261290*{[12-29*0,0261290]/[12 - 2*29*0,0261290]}
----->
i = 0,0261290*1,0722724
---->
i = 0,0280174*100 =~ 2,8017% a.m.

Um abraço

Luiz 2017 escreveu:

jota-r escreveu:
Olá.

1º) Você afirmou: "Use as ferramentas que você tiver à sua disposição. Mas adianto que é resolução convencional".

E o que apresentou? Duas resoluções, sem que nenhuma delas seja convencional. 

2º) Também disse que fórmulas aproximativas, como Baily-Lenzi, Karpin etc. não se prestam à resolução do problema. Realmente, 
para este monstrengo de fórmula que você produziu, de fato não dá. Mas, com a utilização dos dados que sugeri, dá. Veja:   
Resolução pelo método de Baily-Lenzi:

i = h{[12-(n-1)h]/[12 - 2(n-1)h], onde:

h = (nR/P)^2/(n+1) - 1---->h = (30*1500/50000)^2/(30+1)---->h = 0,0261290


i = 0,0261290*{[12-(30-1)*0,0261290]/[12 - 2*(30-1)*0,0261290]}
----->
i = 0,0261290*{[12-29*0,0261290]/[12 - 2*29*0,0261290]}
----->
i = 0,0261290*1,0722724
---->
i = 0,0280174*100 =~ 2,8017% a.m.

Um abraço

jota-r, repito o que disse, você está sendo muito exigente comigo. Estou aqui de boa fé e não há monstrengo. E também, é sempre melhor preservar o clima amigável.

Em termos de taxas de juro qualquer diferença pode ser importante, já que são representadas por valores pequenos. A diferença entre 0,028017 e 0,02177 é bem significativa.

Diferença em termos absolutos = 100 x (0,02817-0,02177)/(0,02177) = 29,4%. É grande.

Diferença em termos de pontos percentuais: 0,028017-0,02177 = 0,0064 = 0,64% a.m. É uma taxa maior que a da Caderneta de Poupança da CEF.

Disse que Baily não se aplica por um simples fato: o número total de parcelas "n" não é conhecido à priori. No presente caso o número total de parcelas é 60 e você usou 30. Por isto encontrou uma taxa diferente. Intencionalmente o problema pede o saldo após o pagamento da 30ª prestação, mas não diz que o financiamento foi feito para quitação em 30 parcelas.

Eu não produzi fórmula alguma. Ela é conhecida da matemática financeira. É a combinação de duas fórmulas:

FV = PV*(1+i)ⁿ

FV = PMT*[(1+i)ⁿ - 1]/[i]

O saldo é a primeira menos a segunda:

S_n = PV*(1+i)ⁿ - PMT*[(1+i)ⁿ - 1]/[i]

que representa o débito ainda existente logo após paga a n-ésima prestação.

Abç.

jota-r escreveu:

Luiz, não imaginava que você fosse assim tão susceptivel, ao ponto de colocar nossa amizade em dívida só porque chamei sua fórmula de "monstrengo". Felei isso por
causa do tamanho da dita cuja. Longe de mim pensar em desfazer do amigo ou de sua expertise em matemática. 

Sabemos que a aproximação pela fórmula de Baily é por excesso. Na verdade, a diferença precentual entre as taxas é de (1,028017/1,02177 -1)*100 = 0,61% e não 0,64%.

Para calcular a taxa por método convencional você me havia sugerido usar a fórmula Sn = PV*(1+i)n - PMT*[(1+i)n - 1]/[i]. Pensei que o amigo iria extrair a taxa desta fórmula. Mas, ao que tudo indica, não conseguiu (e nem eu) e partiu para a fórmula polinomial, solúvel pelo Wolfran, o que me deixou decepcionado, pois é sabido  que não gosto de aplicativo para resolver exercícios. Dou prioridade ao intelecto. 

Mas bola pra frente e um abraço.