Qual a taxa de rendimento?

por Luiz 2017 Ter 23 Jan 2018, 23:41

Um contrato de aplicação financeira prevê que depósitos mensais consecutivos no valor de $ 4.270,87 sejam feitos numa conta de aplicação durante dezoito meses com o objetivo de atingir o montante de $ 100.000,00 ao fim desse prazo. A taxa de rendimento mensal de tal aplicação é:

a) 2,0% a.m.
b) 3,0% a.m.
c) 4,0% a.m.
d) 7,5% a.m.
e) 9,0% a.m.

por Luiz 2017 Qui 25 Jan 2018, 01:16

Luiz 2017 escreveu:Um contrato de aplicação financeira prevê que depósitos mensais consecutivos no valor de $ 4.270,87 sejam feitos numa conta de aplicação durante dezoito meses com o objetivo de atingir o montante de $ 100.000,00 ao fim desse prazo. A taxa de rendimento mensal de tal aplicação é:

a) 2,0% a.m.
b) 3,0% a.m.
c) 4,0% a.m.
d) 7,5% a.m.
e) 9,0% a.m.

Resposta:

Será resolvido por 4 métodos distintos a fim de que sua compreensão possa ter amplo alcance entre os usuários do fórum.

1- Resolvendo pela equação aproximada de M:

(já mostrada aqui https://pir2.forumeiros.com/t134132-formulas-para-calculo-da-taxa-de-juros#469870 )

i = \frac {4(FV/PMT-n)}{(n-1)(FV/PMT+n)}

onde:

n = 18 meses
FV = 100.000,00
PMT = 4.270,87
i = ?

Substituindo valores:

i = \frac {4(100000/4270,87-18)}{(18-1)(100000/4270,87+18)}

i = 0,030761842

\boxed{i \approx 3\% }

2 - Resolvendo pelo método de Newton:

(já mostrado aqui https://pir2.forumeiros.com/t143415-calculo-da-taxa-com-o-metodo-de-newton?highlight=c%C3%A1lculo )

Valor futuro de série uniforme postecipada

FV = PMT \cdot \frac {(1+i)^n - 1}{i}

onde:

FV = 100.000,00
n = 18
PMT = 4.270,87
i = ?

Substituindo valores:

100000 = 4270,87\cdot \frac {(1+i)^{18} - 1}{i}

23,41443312 \cdot i = (1+i)^{18} - 1

(1+i)^{18} - 23,41443312 \cdot i - 1 = 0

Portanto:

f(i) = (1+i)^{18} - 23,41443312 \cdot i - 1

i_1 = i_0 - \frac{f(i_0)}{f'(i_0)}

i_0 = \frac{100000}{4270,87 \cdot 18^2} - \frac{4270,87}{100000} \approx 0,029

1^a\;iteracao:i_0 = 0,029000000000 => i_1 = 0,030000239610
2^a\;iteracao:i_0 = 0,030000239610 => i_1 = 0,029999990016
3^a\;iteracao:i_0 = 0,029999990016 => i_1 = 0,029999990016

i \approx 0,029999990016

\boxed{i \approx 3\% }

3- Resolvendo pelo Wolfram-Alpha:

(disponível aqui http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve++(1%2Bx)%5E(18)-23.41443312x-1%3D0 )

\boxed{i \approx 3\% }

4) Resolvendo também pela HP-12C:

(emulador disponível aqui: https://epxx.co/ctb/hp12c.html )

\boxed{f}\;\boxed{FIN}
18 \;\boxed{n}
100000 \;\boxed{CHS}\;\boxed{FV}
4270,87 \;\boxed{PMT}
\boxed{i}\;\Rightarrow\;2,99999893

\boxed{i \approx 3\%\;a.m.}

Resposta: (b)

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