Cálculo da taxa com o método de Newton.
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Cálculo da taxa com o método de Newton.
Seja o problema:
Uma aplicação com dez depósitos mensais iguais e consecutivos, no valor de $ 100,00, postecipados, gerou um montante de $ 6.468,15. Qual a taxa de juros da aplicação?
A equação geral de juros para valor futuro de série uniforme postecipada é:
onde:
FV = 1.200,00
PMT = 100,00
n = 10 meses
i = ?
Substituindo valores:
Como se vê, em relação a "i" a equação de juros é implícita, ou, se desenvolver recai numa numa equação do 11º grau. Por isto não há solução direta para a mesma. Portanto, matematicamente, para encontrar a solução, ou se usa fórmulas aproximativas (Baily, Lenzi, Karpin, etc), ou se usa aplicativos (como Wolfram-Alpha, Symbolab, etc), ou se usa métodos numéricos iterativos (como o de Newton) onde se obtém valores tão exatos quanto se queira.
Resolvendo pelo método de Newton:
Por este método é necessário arbitrar um valor inicial aproximado para a taxa, que pode ser obtido por:
Portanto:
e
Transportando esta última expressão para as teclas de uma calculadora de bolso tipo científica comum, com o valor inicial no visor, obtem-se a seguinte sequência:
Ao terminar a sequência com a tecla
Repetindo a sequência de teclas vai-se obtendo os valores de i1 de cada iteração, conforme segue:
Aqui já se pode interromper o processo iterativo, visto que na 3ª iteração já houve coincidência das 5 primeiras casas decimais em relação a 2ª iteração, o que significa que a precisão é de 10-5, isto é, se houver erro, ele é menor que 0,00001. Portanto a solução da equação f(i)=0 é 0,039890276 com exatidão nas 5 primeiras casas decimais, o que é mais que suficiente para o cálculo da taxa de juros.
Como visto, o método consiste em, sucessivamente, se atribuir à variável i um valor inicial aproximado e encontrar um valor subsequente mais próximo do valor exato. Na iteração seguinte o valor subsequente encontrado anteriormente passa a ser o valor inicial que produzirá um novo valor subsequente, mais próximo ainda do valor exato. E este processo se repete sucessivamente, convergindo para um valor tão próximo do valor exato quanto se deseje. O método encontra uma única raiz, mesmo que a equação admita mais de uma, sendo que convergirá para a raiz que estiver mais próxima do valor arbitrado.
Assim, a escolha do valor inicial é crucial, pois se a equação tiver mais de uma raiz, uma má escolha do valor inicial poderá ter como consequência o encontro de uma raiz diferente da procurada. No caso do valor futuro dos juros, a determinação da taxa recai numa equação algébrica de grau "n+1", onde n é o número de parcelas e, por conseguinte, admitirá "n+1" raízes. Ocorre que apenas uma das raízes será a taxa, as outras não. Felizmente, no presente caso (juros), há muitas maneiras de se determinar um valor inicial apropriado.
O método de Newton é muito utilizado por ser bem básico, muito potente e por convergir para o resultado muito rapidamente, muitas vezes com duas ou três iterações. Não requer uso de aplicativos, apenas uma calculadora do tipo científica comum.
Portanto, a resposta do problema é:
LC, 04/01/2018.
Luiz 2017- Mestre Jedi
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