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Cálculo da taxa com o método de Newton.

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cálculo - Cálculo da taxa com o método de Newton. Empty Cálculo da taxa com o método de Newton.

Mensagem por Luiz 2017 Qui 04 Jan 2018, 14:49




O MÉTODO DE NEWTON APLICADO AO CÁLCULO DA TAXA DE JUROS.


Seja o problema:

Uma aplicação com dez depósitos mensais iguais e consecutivos, no valor de $ 100,00, postecipados, gerou um montante de $ 6.468,15. Qual a taxa de juros da aplicação?

A equação geral de juros para valor futuro de série uniforme postecipada é:

FV = PMT \cdot \frac {(1+i)^n - 1}{i}

onde:

FV = 1.200,00
PMT = 100,00
n = 10 meses
i = ?

Substituindo valores:

1200 = 100 \cdot \frac {(1+i)^{10} - 1}{i}

12 \cdot i = (1+i)^{10} - 1

(1+i)^{10} - 12 \cdot i - 1 = 0

Como se vê, em relação a "i" a equação de juros é implícita, ou, se desenvolver recai numa numa equação do 11º grau. Por isto não há solução direta para a mesma. Portanto, matematicamente, para encontrar a solução, ou se usa fórmulas aproximativas (Baily, Lenzi, Karpin, etc), ou se usa aplicativos (como Wolfram-Alpha, Symbolab, etc), ou se usa métodos numéricos iterativos (como o de Newton) onde se obtém valores tão exatos quanto se queira.


Resolvendo pelo método de Newton:

f(i) = (1+i)^{10} - 12 \cdot i - 1

f'(i) = 10 \cdot (1+i)^9 - 12

Por este método é necessário arbitrar um valor inicial aproximado para a taxa, que pode ser obtido por:

i_0 = \frac{FV}{PMT \cdot n^2} - \frac{PMT}{FV} = \frac{1200}{100 \cdot 10^2} - \frac{100}{1200} = 0,0367

Portanto:

f(i_0) = (1+i_0)^{10} - 12 \cdot i_0 - 1

f'(i_0) = 10 \cdot (1+i_0)^9 - 12

i_0 = 0,0367

e

i_1 = i_0 - \frac{f(i_0)}{f'(i_0)}

Transportando esta última expressão para as teclas de uma calculadora de bolso tipo científica comum, com o valor inicial no visor, obtem-se a seguinte sequência:

\boxed{STO}

\boxed{-}

\boxed{(}\;\boxed{(}\;\boxed{1}\;\boxed{+}\;\boxed{RCL}\;\boxed{)}\;\boxed{y^x}\;\boxed{1}\;\boxed{0}\;\boxed{-}\;\boxed{1}\;\boxed{2}\;\boxed{\times}\;\boxed{RCL}\;\boxed{-}\;\boxed{1}\;\boxed{)}

\boxed{\div}

\boxed{(}\;\boxed{1}\;\boxed{0}\;\boxed{\times}\;\boxed{(}\;\boxed{1}\;\boxed{+}\;\boxed{RCL}\;\boxed{)}\;\boxed{y^x}\;\boxed{9}\;\boxed{-}\;\boxed{1}\;\boxed{2}\;\boxed{)}

\boxed{=}

Ao terminar a sequência com a tecla \boxed{=}, a calculadora exibe i1 no visor. Ao iniciar nova sequência com \boxed{STO} o valor de i1 calculado vai para a memória e passa a ser o i0 da nova iteração.

Repetindo a sequência de teclas vai-se obtendo os valores de i1 de cada iteração, conforme segue:

1^a \; iteracao:\; i_0 = 0,036700000 => i_1 = 0,040226625
2^a \; iteracao:\; i_0 = 0,040226625 => i_1 = 0,039893360
3^a \; iteracao:\; i_0 = 0,039893360 => i_1 = 0,039890276

Aqui já se pode interromper o processo iterativo, visto que na 3ª iteração já houve coincidência das 5 primeiras casas decimais em relação a 2ª iteração, o que significa que a precisão é de 10-5, isto é, se houver erro, ele é menor que 0,00001. Portanto a solução da equação f(i)=0 é 0,039890276 com exatidão nas 5 primeiras casas decimais, o que é mais que suficiente para o cálculo da taxa de juros.

Como visto, o método consiste em, sucessivamente, se atribuir à variável i um valor inicial aproximado e encontrar um valor subsequente mais próximo do valor exato. Na iteração seguinte o valor subsequente encontrado anteriormente passa a ser o valor inicial que produzirá um novo valor subsequente, mais próximo ainda do valor exato. E este processo se repete sucessivamente, convergindo para um valor tão próximo do valor exato quanto se deseje. O método encontra uma única raiz, mesmo que a equação admita mais de uma, sendo que convergirá para a raiz que estiver mais próxima do valor arbitrado.

Assim, a escolha do valor inicial é crucial, pois se a equação tiver mais de uma raiz, uma má escolha do valor inicial poderá ter como consequência o encontro de uma raiz diferente da procurada. No caso do valor futuro dos juros, a determinação da taxa recai numa equação algébrica de grau "n+1", onde n é o número de parcelas e, por conseguinte, admitirá "n+1" raízes. Ocorre que apenas uma das raízes será a taxa, as outras não. Felizmente, no presente caso (juros), há muitas maneiras de se determinar um valor inicial apropriado.

O método de Newton é muito utilizado por ser bem básico, muito potente e por convergir para o resultado muito rapidamente, muitas vezes com duas ou três iterações. Não requer uso de aplicativos, apenas uma calculadora do tipo científica comum.

Portanto, a resposta do problema é:

\boxed{ i \approx 3,989\%\;a.m. }

LC, 04/01/2018.

Luiz 2017
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