Número primo

3 - Demonstre que um número impar é a metade de seu sucessor são primos entre si.

Número ímpar: 2k+1
Metade do sucessor do número impar: (2k+2)/2 = k+1

d|2k+1
d|k+1

d|2.(k+1)-(2k+1)
d|1
d = 1

Portanto eles são primos entre si.

Provar que eles são primos entre si é equivalente a provar que o mdc entre eles é 1.
Basta utilizar o Lema de Euclides: 
[latex]mdc(a,b) = mdc(a, a-nb) [/latex] onde n é um número natural qualquer.
Número ímpar:[latex] 2n+1[/latex] 
Metade do seu sucessor [latex] (2n+2)/2 = n+1[/latex]
[latex]mdc(2n+1, n+1) = mdc(2n+1-(n+1),n+1)[/latex] 
[latex]= mdc(n, n+1) [/latex]
Sabemos que dois números sucessivos são sempre primos entre si. Daqui já podemos dizer que o mdc é 1 e eles são primos entre si.
No entanto, podemos continuar 
[latex]mdc(n,n+1) = mdc(n+1-n, n) = mdc(1,n) [/latex] 
Maior divisor comum entre 1 e n é sempre 1. 
Logo [latex]mdc(1,n) = 1.[/latex]