Prismas

A interseção de um cubo com o plano definido pela diagonal de uma das suas faces e pelo ponto médio de uma das arestas da face oposta determina nesse cubo um trapézio isósceles.Determine a área desse trapézio sabendo que a medida da aresta do cubo é igual a 2 cm.

Tens certeza do enunciado? Tens o gabarito?
O único trapézio que eu vejo é retângulo (e não isósceles)

Élcio,

forma um trapézio, sim. Ocorre que tomando "o ponto médio de uma das arestas da face oposta", conforme explicitado no enunciado, pegamos também o ponto médio de uma aresta perpendicular a esta também da face oposta.

Nestas condições, a "diagonal de uma das faces" é a base maior. O segmento formado pelos "pontos médios" é a base menor.

Agora estou no trabalho. Depois faço um desenho.

Vou resolver para uma aresta genérica a, depois basta substituir o valor numérico desejado para a aresta.

Seja o cubo de arestas verticais AA', BB', CC' e DD'.
E seja o plano definido pela diagonal AC e o ponto P (médio da aresta A'D' na face oposta).
Se este plano fosse perpendicular à face ABCD, ele conteria as arestas AA' e CC' e passaria pela diagonal A'C' (anotada no desenho). Mas como ele deve passar pelo ponto P, ele sofre uma rotação em torno de AC e passa também pelo ponto Q. Evidente que o ponto Q é médio de C'D'.

Observamos que AP = CQ. Portanto temos o trapézio isósceles APQC. Resta calcular as bases e altura para obter sua área.




CURIOSIDADE:
1) Nota-se que, qualquer que seja a medida da aresta "a" do hexaedro, a área do trapézio assim construído será sempre (9/8 ).a². Como a área de uma face é a², o trapézio tem área 12,5% (ou 1/8 ) maior que a face do cubo.
2) Nota-se também que a área desse trapézio tem mesmo valor que o quadrado da sua altura, i.e., S = h².

Medeiros

Desenho perfeito e solução corretíssima.
Eu tinha interpretado errado: o trapézio que eu tinha "enxergado" era ADD'P (trapézio retângulo)