ANÁLISE COMBINATÓRIA

Achar os valores inteiros não negativos de x, y e z que satisfazem a 2 < x + y + z ≤ 6


Resposta: 74

Boa tarde, amigos!
Ficarei muito agradecida se alguém puder me ajudar.

Rebecca Freitas

Trata-se apenas de um problema de permutação onde nos temos n 1´s, para formar o número n. 
E dois sinais de + pois são três números.

Por exemplo, para formar o número 3, podemos:
1 + 1 + 1 = 3
1 + + 1 1 = 1 + 0 + 2 = 3

Para formar o 4
1 + 1 + 1 1 = 1 + 1 + 2 = 4
1 1 + + 1 1 = 2 + 0 + 2 = 4

E assim sucessivamente. Observe que (1,0,2) e (2,0,1) são os mesmos números da soma, podem são ternas ordenadas. 
(1,0,2) ≠ (2,0,1); mas 1 + 0 + 2 = 2 + 0 + 1. como tratam-se das soluções precisamos conta-las duas vezes.

Como as soluções variam de 3 a 6.
i) Para x + y + z = 3
temos que permutar 5 objetos ( +, 1), com elementos repetidos 3 "uns" e dois sinais de "+"
Portanto
P5_(3,2) = 5!/2!3! = 10 soluções.

ii) Para x + y + z = 4
Temos que permutar 6 objetos (+, 1),  com elementos repetidos 4 "uns" e 2 sinais de +.
Portanto
P6_(4,2) = 6!/4!2! = 15 soluções.

iii) Para x + y + z = 5 
Temos que permutar 7 objetos (+, 1), com elementos repetidos 5 "uns" e 2 sinais de +.
Portanto
P7_(5,2) = 7!/5!2! = 21 soluções.

iv) Para x + y + z = 6
Temos que permutar 8 objetos (+, 1), com elementos repetidos 6 "uns" e 2 sinais de +.
Portanto
P8_(6,2) = 8!/6!2! = 28 soluções.

Somando (i) + (ii) + (iii) + (iv)
Temos
R = 10 + 15 + 21 + 28 = 74

Logo, temos 74 soluções inteiras não negativas.

Abraço.

Ótima explicação!! Muito obrigada, Henrique! 

Sem querer explorar.. rs
Eu só me embolo quando tem isso de ''não negativo'', ''inteiros positivos'' etc. 
Se ele tivesse pedido ''inteiros positivos'' eu teria que partir do princípio de que cada elemento (x, y e z) é no mínimo 1, correto? Nesse caso, como ficaria a conta?

Sim. No caso, o sinal de + não poderia ficar consecutivo (para não aparecer o zero), ai já é outro problema. 

Teria que usar a primeira Lei de Kaplansky.


Abraço.