Dúvida em fatoração

Boa noite galera,
Eu estava pesquisando uma resolução da questão de P.A que era a:"Obtenha uma P.A. crescente formada por três números inteiros e consecutivos de modo que a soma de seus cubos seja igual a quadrado da sua soma." Sua equação final era:" 3a³ - 9a² + 6a", então sua fatoração é "3a(a-1)(a-2) =0."
Gostaria de saber como eu chego a esse resultado. Eu sei que eu devo assistir as video-aulas que um dos velhos amigos do fórum botou aqui para dicas de estudos do ensino fundamental. Sei também que eu sou muito fraco nisso, mas se puderem me responder, eu agradeceria muito.

Um forte abraço,
De: José Ricardo

Infelizmente você não postou a resolução completa que você viu: não temos como opinar.
Mas segue uma resolução:

Termos da PA ---> (x - 1), x e (x + 1)

Soma = 3.x ---> Quadrado da soma = (3x)² = 9.x²

(x - 1)³ + x³ + (x + 1)³ = (3.x)²

(x³ - 3.x² + 3.x - 1) + x³ + (x³ + 3.x² + 3.x + 1) = 9.x²

3.x³ + 6.x = 9.x²

x³ - 3.x² + 2.x = 0

x.(x² - 3x + 2) = 0 ---> Soluções:

1) x = 0 ---> PA: -1, 0, 1 ---> Quadrado da soma = 9.0² = 0 ---> soma dos cubos = (-1)³ + 0³ + 1³ = 0 ---> OK

2) x² - 3x + 2 = 0 ---> Raízes: x = 1 e x = 2

Para x = 1 ---> PA: 0, 1, 2 ---> Quadrado da soma = 9.1² = 9 ---> Soma dos cubos = 0³ + 1³ + 2³ = 9 ---> OK

Para x = 2 ---> PA: 1, 2, 3 ---> Quadrado da soma = 9.2² = 36 ---> Soma dos cubos = 1³ + 2³ + 3³ = 36 ---> OK

Existem, portanto três PAs que atendem: (-1, 0, 1), (0, 1, 2) e (1, 2, 3)

Como se fatora 3a(a - 3a + 2) para 3a(a-1)(a-2), Élcio?

x = 3.a³ - 9.a² + 6.a ---> x = 3.a.(a² - 3a + 2)

a² - 3a + 2 = 0 ---> Raízes ---> a = 1 e a = 2 ---> x = 3.a.(a - 1).(a - 2)

Ah, entendi. Obrigado, Élcio!

Muito obrigado ao mestre Elcio e ao Christian, agora eu consegui ver direitinho.
A resolução é desse site do fórum de matemática: http://www.forumdematematica.org/viewtopic.php?f=22&t=1796