Olimpíada Ibero-americana de Física Cinemátic

por MariaKherlakian Sex 26 Jul 2013, 10:43

Relembrando a primeira mensagem :

(Olimpíada Ibero-americana de Física) O Sr. Gutiérrez viaja todos os dias, à mesma hora, de Montevidéu a Tarariras, onde trabalha. O trajeto Montevidéu-Colonia é feito em trem, enquanto que, de Colônia a Tarariras, o Sr. Gutiérrez viaja no carro da empresa que sai de Tarariras e o recolhe pontualmente na estação de Colônia. Os trens partem de hora em hora e demoram sempre o mesmo tempo. Um dia o Sr. Gutiérrez levantou-se mais cedo e apanhou o trem uma hora antes do costume. Quando chegou a Colônia, obviamente que o carro da empresa ainda não chegara; então Gutiérrez resolveu fazer um pouco de exercício e começa a caminhar em direção a Tarariras. Em determinado momento, encontra-se com o carro da empres que pára imediatamente e o leva para o lugar de trabalho.
Supondo que Gutiérrez caminha a uma velocidade constante de 6,0 km/h e o carro viaja a uma velocidade também constante de 60 km/h, calcule o tempo, antes do habitual, o Sr. Gutiérrez chega à empresa.

Resposta: 10,9 min

por **Christian M. Martins** Sáb 05 Set 2020, 17:12

Eu resolvi essa questão de uma forma muito mais complexa e difícil que os colegas; ainda assim, vou deixar minha resolução aqui, dado esse problema ser de média-alta dificuldade e, possivelmente, alguém no futuro vir a se adaptar melhor ao meu raciocínio.

O enunciado expõe que "os trens partem de hora em hora e demoram sempre o mesmo tempo"; disso, sabemos que o Sr. Gutiérrez chega em Colônia, neste dia atípico, 1 h antes do habitual. Sabendo que o carro da empresa sai de Tarariras para buscá-lo em Colônia e considerando como origem dos tempos o instante t0 em que o Sr. Gutiérrez chega a Colônia no dia em questão, pode-se traçar a seguinte linha dos tempos:

<---x----------------------------------------------x-------------------------x--->

.....t0................................................................t'..............................t_ = 1 h

Onde t' é o instante em que o carro da empresa sai de Tarariras para buscá-lo. Tendo do enunciado que a velocidade do carro é de 60 km/h e chamando a distância de Colônia a Tarariras de d, se pode inferir que o carro demora um tempo t = d/60 para chegar a Colônia; logo:

[latex]t' = 1 - \frac{d}{60} = \frac{60 - d}{60} \ \ s[/latex]

Nesse intervalo de tempo (de t0 a t'), o Sr. Gutiérrez percorre, com uma velocidade de 6 km/h, uma distância s:

[latex]s = 6\left ( \frac{60 - d}{60} \right ) = \left ( \frac{60 - d}{10} \right ) \ km[/latex]

Agora, considerando como origem dos tempos o instante t', se tem que as funções horárias das posições sG e sc do Sr. Gutiérrez e do carro, respectivamente, obedecem a:

[latex]s_{G} = \frac{60 - d}{10} + 6t [/latex]

[latex]s_{c} = d - 60t[/latex]

Assim, ambos se encontrarão quando suas funções horárias se igualarem, levando um tempo t'' desde t':

[latex]\frac{60 - d}{10} + 6t'' = d - 60t'' \Leftrightarrow t'' = \frac{11d-60}{660} \ \ h[/latex]

Logo, o intervalo de tempo total T, desde o instante t0 até o Sr. Gutiérrez se encontrar com o carro, é dado por:

[latex]T = t' + t'' = \frac{60-d}{60} + \frac{11-60}{660} = \frac{10}{11} \ \ h[/latex]

Trata-se de um período de tempo no qual o Sr. Gutiérrez percorre um espaço s' dado por:

[latex]s' = 6 \left (\frac{10}{11} \right ) = \frac{60}{11} \ \ km[/latex]

Contudo, para contabilizar todo o espaço percorrido à frente do tempo que o Sr. Gutiérrez habitualmente chega a Colônia, se deve avaliar uma completa hora desde sua chegada, no dia em questão, à estação de Colônia, e até agora avaliamos apenas 10/11 h, restando ainda 1 - 10/11 = 1/11 h a serem percorridos de carro. Isso nos fornece uma distância s'' tal que:

[latex]s'' = 60 \left ( \frac{1}{11} \right ) = \frac{60}{11} \ \ km[/latex]

Sendo, enfim, a distância total S percorrida pelo Sr. Gutiérrez nessa 1 hora à frente do tempo habitual, dada por:

[latex]S = s' + s'' = \frac{60}{11} + \frac{60}{11} = \frac{120}{11} \ \ km[/latex]

Considerando agora como origem dos tempos o instante t_ = 1 h, momento em que o Sr. Gutiérrez habitualmente chega a Colônia, se tem que nesse dia em questão ele levará um tempo T' tal que:

[latex]T' = \frac{d - S}{60} = \frac{d - \frac{120}{11}}{60} = \frac{11d-120}{660} \ \ h[/latex]

Então a diferença dos tempos será dada por:

[latex]t - T' = \frac{d}{60} - \frac{11d - 120}{660} = \frac{2}{11} \ \ h = 10,9 \ min. = 10 \ min. \ 54 \ s[/latex]

por u17159BR Qui 07 Out 2021, 20:29

Elcioschin escreveu:Para esta questão a distância entre a estação de Colônia (C) e a cidade de Tarariras (T) não interessa. Podemos então supor que a distância vale 60 km (apenas para facilitar as contas e chegar no resultado). Seja E o ponto de encontro

| -------------------------------- 60 km --------------------------------------- |
C ....... d .......... E ..................................... D ............................. T

Normalmente o tempo total gasto pelo motorista para ir é 1 h (mesmo tempo para voltar)

Seja t o tempo até o encontro ---> d = 6.t ---> D =60.t ---> d + D = 60 ---> 66.t = 60 --->

t = 10/11 h

O tempo economizado pelo motorista (para não ter de ir de E até C) foi de 1 - 10/11 = 1/11 h. Economizou o mesmo tempo para não ir de de C até E. Logo o tempo total economizado foi 2/11 h

2/11 h = 2.60/11 min = 120/11 min = (110 + 10)/11 min = 10 min 10/11 min ~= 10,9 min

Na linha "Seja t o tempo até o encontro ---> d = 6.t ---> D =60.t ---> d + D = 60 ---> 66.t = 60 --->"

Como você sabe que o t de d é o mesmo tempo t de D?

por **Elcioschin** Qui 07 Out 2021, 23:37

Porque, quando o trem chegou a Colônia, 1 hora mais cedo, o carro estava saindo de Tarariras.

Assim, sr. Gutiérrez começou a caminhar para Tarariras, no exato instante em que o carro partia para Colônia.

Logo, o tempo t para o encontro é o mesmo.