Questão da Olímpiada Ibero-americana de Fis.

Dois fios condutores homogêneos,de diferentes resistividades p1 e p2,e igual secção transversal uniforme S,estão unidos em C.As extremidades livres de cada fio,que têm o mesmo comprimento L,ligam-se aos terminais A e B de uma bateria que lhes aplica uma diferença de potencial constante Vab,formando um circuito elétrico fechado.Supondo que o módulo do campo elétrico de cada fio é constante e na direção dos fios determine:
a)A intensidade da corrente elétrica que percorre o circuito
b)A carga Q na superfície de contato dos dois fios quando neles circula uma corrente
Nota:Na ausência de qualquer material dielétrico,a permissividade do meio é E0.

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Eu consegui fazer o item A,mas no B não saiu nada.  

Gabarito:

Você já calculou a corrente, dada por
i=\frac{V_{ab}S}{(\rho_1+\rho_2)L}

Acredito que o segredo do item b é você "perceber" que o espaço infinitesimalmente pequeno entre as superfícies dos dois condutores funciona como se fosse um capacitor! Porque o que seria um espaço contendo vácuo (ε0) ou um outro material dielétrico separado por duas superfícies planas carregadas com cargas de módulo igual e sinais opostos: justamente um capacitor. Além disso quando um elétron proveniente do primeiro condutor vai pro segundo, esse sofre uma queda de potencial por estar indo para um condutor que tem ddp menor que o outro (supondo que V1>V2). Essa que queda de ddp U é o potencial que estará sujeito nosso capacitor, e a ele estará associado um campo magnético resultante Er:

E_R=E_1-E_2

E1 e E2 são determinados aplicando a lei de ohm a cada condutor, ou seja, U1=R1*i e U2=R2*i e em seguida usamos a equação E=U/L

E_1L=\frac{V_{ab}S}{(\rho_1+\rho_2)L}\frac{\rho_1L}{S}

E_1=\frac{V_{ab}\rho_1}{(\rho_1+\rho_2)L}

e 
E_2L=\frac{V_{ab}S}{(\rho_1+\rho_2)L}\frac{\rho_2L}{S}

E_2=\frac{V_{ab}\rho_2}{(\rho_1+\rho_2)L}

e então 
E_R=\frac{V_{ab}\rho_1}{(\rho_1+\rho_2)L}-\frac{V_{ab}\rho_2}{(\rho_1+\rho_2)L}

E_R=\frac{V_{ab}(\rho_1-\rho_2)}{(\rho_1+\rho_2)L}

Assim, calculamos a queda de ddp U por U=Er*dl

U=\frac{V_{ab}(\rho_1-\rho_2)dl}{(\rho_1+\rho_2)L}

A capacitância de um capacitor de placas paralelas de área S separados por uma distância dl, tendo o vácuo (ε0) entre eles, é dado por:

C=\frac{S\epsilon_0}{dl}

A carga total do capacitor é então dada por Q=CU:

Q=CU=\frac{S\epsilon_0}{dl}\frac{V_{ab}(\rho_1-\rho_2)dl}{(\rho_1+\rho_2)L}

Logo:

Q=\frac{S\epsilon_0V_{ab}(\rho_1-\rho_2)}{(\rho_1+\rho_2)L}

Sei que o seu gabarito não tem o termo S, porém a dimensão do seu Q é Cm^{-2}. Espero que o gabarito esteja errado e que você tenha compreendido a solução. Abraço!

Gabriel,de fato eu errei no gabarito,esqueci de colocar o S.
Está corretísimo,nunca que iria considerar um capacitador nesse espaço.Sua resolução está mais que excelente!
Muito obrigado!

Alguem poderia repostar as imagens, muito obrigado

Nessa questão, pode-se usar a Lei de Gauss.

No espaço de contato dos fios, temos um comprimento infinitesimal e podemos criar um espaço imaginário cilíndrico. A partir disso, podemos avaliar os fluxos que entram e saem nesse trecho.

O fluxo que entrou é o campo proveniente do polo A do condutor e o que saiu foi para o B. Então o saldo é dado pela subtração dos dois fluxos.

Ea x S- Eb x S= Q/épsilon0

Com isso, pode usar o método que o nosso amigo falou para calcular o campo elétrico.

Obs: o Espaço cilíndrico que eu citei possui um fluxo paralelo ao seu eixo, não um no sentido radial da base.